Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

12. Буквенные выражения

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Использование формул сокращенного умножения с квадратами (страница 2)

Задание 8 #5014

Найдите значение выражения \((x-7):\dfrac{x^2-14x+49}{x+7}\) при \(x=-13\).

По формуле квадрата разности \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) выражение \(x^2-14x+49\) можно преобразовать: \(x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2=(x-7)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x-7)\cdot \dfrac{x+7}{(x-7)^2}=\dfrac{x+7}{x-7}=\dfrac{-13+7}{-13-7}= \dfrac{-6}{-20}=0,3\]

Ответ: 0,3

Задание 9 #5015

Найдите значение выражения \(\dfrac{9ab}{a+9b}\cdot \left(\dfrac a{9b}-\dfrac{9b}a\right)\) при \(a=9\sqrt 8+4\), \(b=\sqrt 8-4\).

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac a{9b}-\dfrac{9b}a=\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}\] Числитель получившейся дроби можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}=\dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{9ab}{a+9b}\cdot \dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}= a-9b\qquad (9ab\ne 0, \ a+9b\ne 0)\]Тогда при \(a=9\sqrt 8+4\), \(b=\sqrt 8-4\) мы получим: \[9\sqrt 8+4-9(\sqrt 8-4)=9\sqrt 8+4-9\sqrt 8+36=40\]

Ответ: 40

Задание 10 #5016

Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}: \left(\dfrac 1{4b}-\dfrac1a\right)\) при \(a=3\,\frac1{13}\), \(b=4\,\frac3{13}\).

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac1{4b}-\dfrac1a=\dfrac{a-4b}{4ab}\] Числитель дроби \(\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}\) можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}=\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}:\dfrac{a-4b}{4ab}= \dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\cdot \dfrac{4ab}{a-4b}=a+4b\qquad (4ab\ne 0, \ a-4b\ne 0)\]Тогда при \(a=3\,\frac1{13}\), \(b=4\,\frac3{13}\) мы получим: \[3\,\dfrac1{13}+4\cdot 4\,\dfrac3{13}=3+\dfrac1{13}+ 4\cdot \left(4+\dfrac3{13}\right)=3+16+\dfrac1{13}+\dfrac{12}{13}=19+\dfrac{13}{13}=20\]

Ответ: 20

Задание 11 #5017

Найдите значение выражения

\[\dfrac{(\sqrt7+\sqrt{17})^2}{12+\sqrt{119}}\]

Возведем в квадрат числитель по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[(\sqrt7+\sqrt{17})^2=(\sqrt7)^2+2\cdot \sqrt7\cdot \sqrt{17}+(\sqrt{17})^2= 7+2\sqrt{7\cdot 17}+17=24+2\sqrt{119}=2(12+\sqrt{119})\]

Таким образом, все выражение примет вид:

\[\dfrac{2(12+\sqrt{119})}{12+\sqrt{119}}=2.\]

Ответ: 2

Задание 12 #5018

Найдите значение выражения \[\dfrac{(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+2^{1024}}{3^{1024}}\]

Умножим числитель и знаменатель данного выражения на \((3-2)\) (от этого данное выражение не изменит своего значения):

\[\dfrac{(3-2)(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+(3-2)\cdot2^{1024}}{(3-2)\cdot3^{1024}}\]

Применим формулу разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) для числителя:
\((3-2)(3+2)=3^2-2^2\)
\((3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4\)
\((3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8\)
\(...\)   \((3^{256}-2^{256})(3^{256}+2^{256})=3^{512}-2^{512}\)
\((3^{512}-2^{512})(3^{512}+2^{512})=3^{1024}-2^{1024}\)

 

Таким образом, дробь примет вид:

\[\dfrac{\left(3^{1024}-2^{1024}\right)+(3-2)\cdot2^{2014}}{(3-2)\cdot3^{1024}} =\dfrac{3^{1024}-2^{1024}+2^{1024}}{3^{1024}}=1\]

Ответ: 1

Задание 13 #5019

Найдите значение выражения

\[\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{xy-3x^2}{y^2-9x^2}-2\]

при \(\dfrac{y+x}{x}=8\).

Сделаем преобразования, учитывая, что \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\):

 

\(\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x(y-3x)}{(y-3x)(y+3x)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x}{y+3x}-2=\)  

\(=\dfrac{y^2-4xy-x^2+10x(x+y)}{(y+3x)(x+y)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2+10x^2+10xy}{(y+3x)(x+y)}-2= \)  

\(=\dfrac{y^2+6xy+9x^2}{(y+3x)(x+y)}-2\).  

Числитель полученной дроби можно преобразовать по формуле квадрата суммы \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) и получить \(y^2+6xy+9x^2=y^2+2\cdot y\cdot 3x+(3x)^2=(y+3x)^2\). Следовательно, дробь будет равна \[\dfrac{(y+3x)^2}{(y+3x)(x+y) }-2=\dfrac{y+3x}{x+y}-2\]

Заметим, что равенство \(\dfrac{y+x}x=8\) можно переписать в виде \(y+x=8x\) или \(y=7x\) (при условии \(x\ne 0\)). Заметим, что при этих значениях действительно \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\).
Следовательно, выражение примет вид:

\[\dfrac{7x+3x}{x+7x}-2=\dfrac{10x}{8x}-2=\dfrac54-2=-0,75\]

Ответ: -0,75

Задание 14 #5020

Найдите значение выражения \[(49a^2-9)\cdot \left(\dfrac1{7a-3}-\dfrac1{7a+3}\right)\]

По формуле \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) разности квадратов преобразуем: \(49a^2-9=(7a-3)(7a+3)\). Следовательно, выражение при всех \(a\ne -\frac37; \frac37\) можно переписать в виде: \[(7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac{7a+3-(7a-3)}{(7a-3)(7a+3)}= (7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac6{(7a-3)(7a+3)}=6\]

Ответ: 6