Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

12. Буквенные выражения

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Использование формул сокращенного умножения с квадратами (страница 3)

Задание 15 #5017

Найдите значение выражения

\[\dfrac{(\sqrt7+\sqrt{17})^2}{12+\sqrt{119}}\]

Возведем в квадрат числитель по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[(\sqrt7+\sqrt{17})^2=(\sqrt7)^2+2\cdot \sqrt7\cdot \sqrt{17}+(\sqrt{17})^2= 7+2\sqrt{7\cdot 17}+17=24+2\sqrt{119}=2(12+\sqrt{119})\]

Таким образом, все выражение примет вид:

\[\dfrac{2(12+\sqrt{119})}{12+\sqrt{119}}=2.\]

Ответ: 2

Задание 16 #5016

Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}: \left(\dfrac 1{4b}-\dfrac1a\right)\) при \(a=3\,\frac1{13}\), \(b=4\,\frac3{13}\).

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac1{4b}-\dfrac1a=\dfrac{a-4b}{4ab}\] Числитель дроби \(\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}\) можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}=\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}:\dfrac{a-4b}{4ab}= \dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\cdot \dfrac{4ab}{a-4b}=a+4b\qquad (4ab\ne 0, \ a-4b\ne 0)\]Тогда при \(a=3\,\frac1{13}\), \(b=4\,\frac3{13}\) мы получим: \[3\,\dfrac1{13}+4\cdot 4\,\dfrac3{13}=3+\dfrac1{13}+ 4\cdot \left(4+\dfrac3{13}\right)=3+16+\dfrac1{13}+\dfrac{12}{13}=19+\dfrac{13}{13}=20\]

Ответ: 20

Задание 17 #5015

Найдите значение выражения \(\dfrac{9ab}{a+9b}\cdot \left(\dfrac a{9b}-\dfrac{9b}a\right)\) при \(a=9\sqrt 8+4\), \(b=\sqrt 8-4\).

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac a{9b}-\dfrac{9b}a=\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}\] Числитель получившейся дроби можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}=\dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{9ab}{a+9b}\cdot \dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}= a-9b\qquad (9ab\ne 0, \ a+9b\ne 0)\]Тогда при \(a=9\sqrt 8+4\), \(b=\sqrt 8-4\) мы получим: \[9\sqrt 8+4-9(\sqrt 8-4)=9\sqrt 8+4-9\sqrt 8+36=40\]

Ответ: 40

Задание 18 #5014

Найдите значение выражения \((x-7):\dfrac{x^2-14x+49}{x+7}\) при \(x=-13\).

По формуле квадрата разности \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) выражение \(x^2-14x+49\) можно преобразовать: \(x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2=(x-7)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x-7)\cdot \dfrac{x+7}{(x-7)^2}=\dfrac{x+7}{x-7}=\dfrac{-13+7}{-13-7}= \dfrac{-6}{-20}=0,3\]

Ответ: 0,3

Задание 19 #5013

Найдите значение выражения \((x+8):\dfrac{x^2+16x+64}{x-8}\) при \(x=12\).

По формуле квадрата суммы \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) выражение \(x^2+16x+64\) можно преобразовать: \(x^2+2\cdot x\cdot 8+8^2=(x+8)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x+8)\cdot \dfrac{x-8}{(x+8)^2}=\dfrac{x-8}{x+8}=\dfrac{12-8}{12+8}=\dfrac 4{20}= 0,2\]

Ответ: 0,2

Задание 20 #5012

Найдите значение выражения \(\dfrac{1-a^2}{5a^2+5a}\) при \(a=-2\).

По формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) можно преобразовать числитель: \((1-a)(1+a)\).
Знаменатель можно разложить на множители: \(5a(a+1)\).
Тогда вся дробь примет вид \[\dfrac{(1-a)(1+a)}{5a(a+1)}=\dfrac{1-a}{5a}\qquad (a+1\ne 0)\] Следовательно, при \(a=-2\) значение выражения равно \[\dfrac{1-(-2)}{5\cdot (-2)}=-\dfrac{3}{10}=-0,3\]

Ответ: -0,3

Задание 21 #5011

Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-81}{2a^2-18a}\) при \(a=-0,1\).

По формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) можно преобразовать числитель: \((a-9)(a+9)\).
Знаменатель можно разложить на множители: \(2a(a-9)\).
Тогда вся дробь примет вид \[\dfrac{(a-9)(a+9)}{2a(a-9)}=\dfrac{a+9}{2a}\qquad (a-9\ne 0)\] Следовательно, при \(a=-0,1\) значение выражения равно \[\dfrac{-0,1+9}{2\cdot (-0,1)}=-\dfrac{8,9}{0,2}=-\dfrac{89}2=-44,5\]

Ответ: -44,5