4. Числовые и алгебраические выражения
Чему равно значение выражения \(27 \cdot 3^n\)?
1) \(3^{n+3}\) \(\;\;\;\) 2) \(3^{n-3}\) \(\;\;\;\) 3)\(27^n\) \(\;\;\;\) 4) \(27^{3n}\)
Представим \(27=3^3\).
При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
\(27 \cdot 3^n = 3^3 \cdot 3^n = 3^{n+1}\).
Ответ: 1
Какое из данных чисел является значением выражения \({5^5}^5\)?
1) \(5^{10}\) \(\;\;\;\) 2) \(5\) \(\;\;\;\) 3)\(125\) \(\;\;\;\) 4) \(5^{25}\)
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\({5^5}^5 = 5^{5 \cdot 5} = 5^{25}\).
Ответ: 4
Чему равно значение выражения \(\frac{5^{6} }{25^{3}\cdot 5^{-2}}\)?
1) \(5\) \(\;\;\;\) 2) \(25\) \(\;\;\;\) 3)\(\frac{1}{5}\) \(\;\;\;\) 4) \(-\frac{1}{5}\)
Приведем все степени к основанию 5:
\(25^{3} = {(5^2)}^{3} = 5^{6}\).
Тогда:
\(\frac{5^{6} }{25^{3}\cdot 5^{-2}} = \frac{5^{6} }{5^{6}\cdot 5^{-2}} = 5^{6-6-(-2)}=5^2=25\).
Ответ: 2
Чему равно значение выражения \(\frac{2^{2} \cdot 8^{-2}}{2^{-5}}\)?
1) \(2\) \(\;\;\;\) 2) \(\frac{1}{2}\) \(\;\;\;\) 3)\(-\frac{1}{2}\) \(\;\;\;\) 4) \(-4\)
Приведем все степени к основанию 2:
\(8^{-2} = {(2^3)}^{-2} = 2^{-6}\).
Тогда
\(\frac{2^{2} \cdot 8^{-2}}{2^{-5}} = \frac{2^{2} \cdot 2^{-6}}{2^{-5}} = 2^{2-6-(-5)} = 2^{1} = 2\).
Ответ: 1
Чему равно значение выражения \(5^{12} \cdot (5^5)^{-3}\)?
1) \(125\) \(\;\;\;\) 2) \(-125\) \(\;\;\;\) 3)\(-\frac{1}{125}\) \(\;\;\;\) 4) \(\frac{1}{125}\)
При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней с одинаковыми основаниями — складываются. Тогда:
\(5^{12} \cdot (5^5)^{-3} = 5^{15} \cdot 5^{-15} = 5^{12-15}=5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}\)
Ответ: 4
Чему равно значение выражения \(6^{-8} \cdot (6^2)^3\)?
1) \(\frac{1}{36}\) \(\;\;\;\) 2) \(-\frac{1}{6}\) \(\;\;\;\) 3)\(6\) \(\;\;\;\) 4) \(-36\)
При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней с одинаковыми основаниями — складываются. Тогда:
\(6^{-8} \cdot (6^2)^3 = 6^{-8} \cdot 6^6 = 6^{-8+6}=6^{-2} = \frac{1}{36}\)
Ответ: 1
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac{\left(5^3\right)^{-4}}{5^{-11}}\)?
1) \(5^{10} \qquad \qquad\) 2) \(\dfrac15\qquad \qquad\) 3) \(5\qquad \qquad\) 4) \(5^{-23}\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то числитель дроби можно преобразовать: \(5^{3\cdot (-4)}=5^{-12}\).
Так как \(a^x:a^y=a^{x-y}\), то дробь равна \(5^{-12}:5^{-11}=5^{-12-(-11)}=5^{-1}=\frac15\).
Следовательно, ответ 2.
Ответ: 2
