4. Числовые и алгебраические выражения
Какое из данных чисел является значением выражения \((3 + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 3)\)?
1) 3 \(\;\;\;\) 2) -3 \(\;\;\;\) 3) 9 \(\;\;\;\) 4) -9
Применим формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Примем \(a=2\sqrt{3}\), \(b=3\).
\[(3 + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 3) = 4 \cdot 3 - 9 = 12 - 9 = 3\].
Ответ: 1
Какое из данных чисел является значением выражения \((2 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 2)\)?
1) 3 \(\;\;\;\) 2) -3 \(\;\;\;\) 3)1 \(\;\;\;\) 4) -1
Применим формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Примем \(a=\sqrt{5}\), \(b=2\).
\[(2 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1\].
Ответ: 3
Какое из данных ниже чисел является значением выражения \(\frac{2}{4-2\sqrt{3}}\)?
1) \( \sqrt{2} + 3\) \(\;\;\;\) 2) \( - \sqrt{2} - 3\) \(\;\;\;\) 3)\(\frac{(\sqrt{2} + 3)}{2}\) \(\;\;\;\) 4) \(\frac{(\sqrt{2} + 3)}{2}\)
Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим и числитель, и знаменатель на \(4 + 2\sqrt{3}\). Тогда для преобразования знаменателя можно будет применить формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
\(\frac{2}{4-2\sqrt{3}}=\frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{(4 + 2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{16 - 4 \cdot 3} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{16 - 12} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{4} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4} = 2 + \sqrt{3}\).
Ответ: 1
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac1{4-\sqrt{14}}\)?
1) \(\dfrac{4-\sqrt{14}}2 \qquad \qquad\) 2) \(4-\sqrt{14}\qquad \qquad\) 3) \(4+\sqrt{14}\qquad \qquad\) 4) \(\dfrac{4+\sqrt{14}}2\)
В данном случае нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на \(4+\sqrt{14}\), тогда в знаменателе получится формула \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\): \[\dfrac{4+\sqrt{14}}{(4-\sqrt{14})(4+\sqrt{14})}= \dfrac{4+\sqrt{14}}{4^2-(\sqrt{14})^2}=\dfrac{4+\sqrt{14}}{16-14}= \dfrac{4+\sqrt{14}}2\] Следовательно, ответ 4.
Ответ: 4
Значение какого из выражений является рациональным?
1) \(\sqrt 8\cdot \sqrt{12}\qquad \) 2) \(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}}\qquad \) 3) \(\sqrt{14}(\sqrt{14}+\sqrt 5)\qquad \) 4) \((\sqrt{14}+\sqrt5)^2\)
Преобразуем каждое выражение.
1) \(\sqrt8\cdot \sqrt{12}=\sqrt{8\cdot 12}=\sqrt{(2^2\cdot 2)\cdot (2^2\cdot 3)}=2\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}=4\sqrt6\);
2) \(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}}=\sqrt{\dfrac{10}{40}}= \sqrt{\dfrac14}=\dfrac12\);
3) \(\sqrt{14}(\sqrt{14}+\sqrt5)=(\sqrt{14})^2+\sqrt{14\cdot 5}=14+\sqrt{70}\);
4) \((\sqrt{14}+\sqrt5)^2=(\sqrt{14})^2+2\cdot \sqrt{14}\cdot \sqrt 5+(\sqrt 5)^2=14+2\sqrt{70}+5=19+2\sqrt{70}\).
Таким образом, единственное рациональное число – число в пункте 2.
Ответ: 2
Какое из данных ниже выражений при любых значениях \(a, b\) равно выражению \((4a-b)^2\)?
1) \((4a-b)(4a+b)\qquad \) 2) \(4a^2-8ab+b^2\qquad\) 3) \(16a^2-8ab+b^2\qquad \) 4) \(16a^2-8ab-b^2\)
По формуле квадрата разности \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\), следовательно, \[(4a-b)^2=(4a)^2-2\cdot 4a\cdot b+b^2=16a^2-8ab+b^2\] Значит, правильным ответом будет 3.
Ответ: 3
Какое из данных ниже выражений при любых значениях \(x\) равно выражению \((2x+1)^2\)?
1) \(2x^2+1\qquad \) 2) \(2x^2+4x+1\qquad \) 3) \(4x^2+2x+1\qquad \) 4) \(4x^2+4x+1\)
По формуле квадрата суммы \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) имеем \[(2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 1+1^2=4x^2+4x+1\] Следовательно, ответ 4.
Ответ: 4
