Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

11. Числовые последовательности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Геометрическая прогрессия (страница 2)

Задание 8 #4980

Геометрическая прогрессия задана условием \(b_n=-6,4\cdot \left(-\frac52\right)^n\). Найдите знаменатель данной прогрессии.

В общем виде формула \(n\)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Приведем данную в условии формулу к этому виду: \[b_n=-6,4\cdot \left(-\frac52\right)\cdot \left(-\frac52\right)^{n-1}= 16\cdot\left(-\dfrac52\right)^{n-1}\] Следовательно, \(b_1=16\), \(q=-\frac52\).

Ответ: -2,5

Задание 9 #4981

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: \(18,5; \ 74; \ 296; \ \dots\). Найдите ее пятый член.

Знаменатель геометрической прогрессии равен \(q=296:74=4\). Следовательно, четвертый член равен \(296\cdot 4\), а пятый \((296\cdot 4)\cdot 4=4736\).

Ответ: 4736

Задание 10 #4982

О геометрической прогрессии \((b_n)\) известно, что \(b_5=1\), \(b_7=\frac14\). Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что он положительный.

Если \(q\) – знаменатель геометрической прогрессии, то \(b_6=b_5\cdot q\), \(b_7=b_6\cdot q=b_5\cdot q^2\). Следовательно, \[q^2=\dfrac{b_7}{b_5}=\dfrac14\] Так как \(q>0\), то \(q=\frac12=0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 11 #4983

О геометрической прогрессии \((b_n)\) известно, что \(b_5=\frac23\), \(b_8=\frac94\). Найдите знаменатель прогрессии.

Если \(q\) – знаменатель геометрической прогрессии, то \(b_6=b_5\cdot q\), \(b_7=b_6\cdot q=b_5\cdot q^2\), \(b_8=b_5\cdot q^3\). Следовательно, \[q^3=\dfrac{b_8}{b_5}=\dfrac{\frac94}{\frac23}=\dfrac{27}8\] Следовательно. \(q=\frac32=1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 12 #4984

В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель равен \(4\), а \(b_1=\frac18\). Найдите сумму первых пяти ее членов.

Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых \(n\) членов: \[S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1\] Следовательно, \[S_5=\dfrac{1-4^5}{1-4}\cdot \dfrac18=\dfrac{1024-1}{3\cdot 8}=\dfrac{341}8= 42,625\]

(Для решения этой можно было последовательно вычислять члены прогрессии: \(b_2=\frac12\), \(b_3=2\), \(b_4=8\), \(b_5=32\). Тогда \(S_5=\frac18+\frac12+2+8+32=42,625\). Таким способом вычисления даже легче. НО только в случае, когда нужно находить не очень большое количество членов прогрессии.)

Ответ: 42,625

Задание 13 #4985

Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана условием \(b_n=\frac38\cdot 2^n\). Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

В общем виде формула \(n\)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Приведем данную в условии формулу к этому виду: \[b_n=\dfrac38\cdot 2\cdot 2^{n-1}=\dfrac34\cdot 2^{n-1}\] Следовательно, \(b_1=\frac34\), \(q=2\).

 

Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых \(n\) членов: \[S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1\] Следовательно, \[S_5=\dfrac{1-2^5}{1-2}\cdot \dfrac34=31\cdot \dfrac34=23,25\]

(Для решения этой можно было последовательно вычислять члены прогрессии: \(b_1=\frac34\), \(b_2=\frac32\), \(b_3=3\), \(b_4=6\), \(b_5=12\). Тогда \(S_5=\frac34+\frac32+3+6+12=23,25\). Таким способом вычисления даже легче. НО только в случае, когда нужно находить не очень большое количество членов прогрессии.)

Ответ: 23,25

Задание 14 #4986

Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана условием \(b_n=\frac34\cdot (-2)^n\). Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

В общем виде формула \(n\)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Приведем данную в условии формулу к этому виду: \[b_n=\dfrac34\cdot (-2)\cdot (-2)^{n-1}=-\dfrac32\cdot (-2)^{n-1}\] Следовательно, \(b_1=-\frac32\), \(q=-2\).

 

Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых \(n\) членов: \[S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1\] Следовательно, \[S_{10}=\dfrac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}\cdot \left(-\dfrac32\right)= \dfrac{1024-1}3\cdot \dfrac32=511,5\]

Ответ: 511,5