11. Числовые последовательности
Последовательность задана формулой \(a_n=\dfrac 9{n+2}\). Сколько членов в этой последовательности больше 1?
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно решить неравенство \[\dfrac9{n+2}>1\] Так как \(n\) – натуральное, а дробь слева будет больше 1 только тогда, когда знаменатель будет меньше 9, то нам подходят \(n\) такие, что \(n+2<9\), откуда \(n<7\). Следовательно, это \(n=1; 2; 3; 4; 5; 6\). Всего 6 членов последовательности.
Ответ: 6
Последовательность задана формулой \(a_n=\dfrac {12}{n+4}\). Сколько членов в этой последовательности больше 2?
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно решить неравенство \[\dfrac{12}{n+4}>2\] Так как \(n\) – натуральное, а дробь слева будет больше 2 только тогда, когда знаменатель будет меньше 6, то нам подходят \(n\) такие, что \(n+4<6\), откуда \(n<2\). Следовательно, это \(n=1\). Всего 1 член последовательности.
Ответ: 1
Последовательность \((c_n)\) задана условиями \(c_1=5\), \(c_{n+1}=c_n-4\). Найдите \(c_6\).
Из формулы следует, что \(c_6=c_5-4=(c_4-4)-4=c_4-8=c_3-12=c_2-16=c_1-20\). Следовательно, \(c_6=5-20=-15\).
Ответ: -15
Последовательность задана условиями \(c_1=-3\), \(c_{n+1} = -c_n+2\). Найдите \(c_5\).
Из данной в условии формулы следует, что
\[\begin{aligned} c_2 &= -(-3)+2 = 5,\\ c_3 &= -5 + 2 = -3,\\ c_4 &= -(-3) + 2 =5,\\ c_5 &=-5+2= -3. \end{aligned}\]
Ответ: -3
Последовательность задана условиями \(c_1=2\), \(c_{n+1} = 3c_n-2\). Найдите \(c_4\).
Из данной в условии формулы следует, что
\[\begin{aligned} c_2 &= 3 \cdot 2 - 2 = 4,\\ c_3 &= 3 \cdot 4 - 2 = 10,\\ c_4 &= 3 \cdot 10 - 2 =28. \end{aligned}\]
Ответ: 28
Какое из указанных чисел является членом последовательности \(l_n=5n-4\)?
1) 56 \(\;\;\;\) 2)128 \(\;\;\;\) 3)135 \(\;\;\;\) 4)202
Перепишем формулу в виде \(l_n+4=5n\). Правая часть делится на 5, значит, левая тоже должна делиться. Из данных чисел только 1) удовлетворяет условию.
Действительно, \(56+4=60\) и 60 делится на 5.
Ответ: 1
Последовательность задана формулой \(b_n=8n+4\). Сколько членов в этой последовательности меньше 50?
Решим неравенство \(8n+4<50\) для натуральных \(n\).
Имеем \(8n<46\) или \(n<5\frac{3}{4}\). Значит, в последовательности 5 членов меньше 50.
Ответ: 5
