Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

26. Геометрия. Задачи повышенного уровня сложности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с окружностями (страница 3)

Задание 15 #5249

Из вершины прямого угла \(C\) треугольника \(ABC\) проведена высота \(CP\). Радиус окружности, вписанной в треугольник \(BCP\), равен \(8\), тангенс угла \(BAC\) равен \(\frac43\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).

Рассмотрим чертеж (\(M, K, N\) – точки касания окружности со сторонами \(\triangle CBP\)):



Так как \(\mathrm{tg}\,\angle BAC=\frac43\), то можно принять \(BC=4x\), \(CA=3x\). Тогда по теореме Пифагора \(AB=5x\).
Для прямоугольного треугольника с катетами \(a, b\) и гипотенузой \(c\) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле \(0,5(a+b-c)\).
(Докажем это для \(\triangle BCP\). Так как \(OM\perp BP\), \(OK\perp CP\), то \(OMPK\) – прямоугольник. Так как \(PK=PM\) как отрезки касательных, проведенных из одной точки, то есть смежные стороны прямоугольника равны, то это квадрат. Также \(BM=BN\), \(CN=CK\) как отрезки касательных. Следовательно, если обозначить радиус вписанной окружности за \(r\), то \(a+b=BP+CP=BM+r+CK+r=(BM+CK)+2r=(BN+CN)+2r=c+2r\), откуда и вытекает нужная формула.)

 

Найдем \(CP\): \[\dfrac 12\cdot 4x\cdot 3x=S_{ABC}=\dfrac12\cdot CP\cdot 5x\quad\Rightarrow\quad CP=\dfrac{12}5x\] Тогда по теореме Пифагора \(BP=\frac{16}5x\). Следовательно, \[8=r_{BCP}=0,5\left(\dfrac{12}5x+\dfrac{16}5x-4x\right)\quad\Rightarrow\quad x=10\] Значит, для \(\triangle ABC\) \[r_{ABC}=0,5(4x+3x-5x)=x=10.\]

Ответ: 10