Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB=9\), \(AC=12\).
Рассмотрим чертеж:
Касание окружности со стороной \(AB\) в точке \(B\) означает, что радиус, проведенный в точку \(B\), перпендикулярен \(AB\). Пусть \(O\) – центр окружности. Тогда радиус \(OB\perp AB\).
Так как в задаче нужно найти длину отрезка, известны два отрезка и есть прямой угол, то скорее всего нужно будет воспользоваться теоремой Пифагора.
Заметим, что \(OC\) – радиус. Обозначим радиус окружности за \(R\). Тогда \(AO=12-R\), \(OB=R\). \(\triangle ABO\) прямоугольный и по теореме Пифагора \[AO^2=AB^2+BO^2\quad\Rightarrow\quad (12-R)^2=9^2+R^2\quad\Rightarrow\quad
R=\dfrac{21}8\]Следовательно, диаметр окружности равен \(d=\frac{21}4=5,25\).
Ответ: 5,25
