Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8 #5814

В треугольнике \(ABC\) при вершинах \(A, B\) и \(C\) построено по одному внешнему углу. Найдите сумму этих внешних углов. Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине \(A\) равен \(\angle B + \angle C\) в треугольнике \(ABC\).

Аналогично внешний угол при вершине \(B\) равен \(\angle A + \angle C\) в треугольнике \(ABC\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(\angle A + \angle B\) в треугольнике \(ABC\).

Таким образом, сумма внешних углов равна \(\angle B + \angle C + \angle A + \angle C + \angle A + \angle B = 2(\angle A + \angle B + \angle C)\) в треугольнике \(ABC\), но эта сумма есть удвоенная сумма углов треугольника.

Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то сумма внешних углов равна \(180^{\circ} \cdot 2 = 360^{\circ}\).

Ответ: 360

Задание 9 #5815

В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(M\) – середина \(AN\), а \(BN\) – медиана в треугольнике \(BMC\). Во сколько раз \(AC\) длиннее, чем \(MN\)?

\(AM = MN\),

\(MN = NC\),

тогда \(AC = AM + MN + NC = 3\cdot MN\).

\(AC : MN = 3\).

Ответ: 3

Задание 10 #5816

В треугольнике \(ABC\): \(BP\) и \(AQ\) – биссектрисы, пересекающиеся в точке \(K\), \(\angle C = 75^{\circ}\). Найдите \(\angle PKQ\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle AKB = \angle PKQ\), так как они вертикальные.

\(\angle KAB = 0,5\cdot \angle CAB\), \(\angle ABK = 0,5\cdot \angle ABC\), тогда при учёте того, что сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\) (\(\angle CAB + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}\)):

\(\angle KAB + \angle ABK = 0,5\cdot (\angle CAB + \angle ABC) = 0,5\cdot (180^{\circ} - 75^{\circ}) = 52,5^{\circ}\), значит,

\(\angle AKB = 180^{\circ} - (\angle KAB + \angle ABK) = 180^{\circ} - 52,5^{\circ} = 127,5^{\circ}\). Таким образом, \(\angle PKQ = 127,5^{\circ}\).

Ответ: 127,5

Задание 11 #5817

В треугольнике \(ABC\): \(BM\) – биссектриса, причем \(AM = 3\), \(MC = 5\), \(BC = 10\). Найдите \(AB\).

По теореме о биссектрисе (биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам) имеем: \(\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{BC}{MC}\), тогда \(\dfrac{AB}{3} = \dfrac{10}{5} = 2\), откуда \(AB = 6\).

Ответ: 6

Задание 12 #5818

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(58^\circ\), биссектрисы \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(AOB\). Ответ дайте в градусах.

В треугольнике \(ABC\) \(\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).
Заметим, что \(\angle AOB=180^\circ-(\angle OAB+\angle OBA)=180^\circ-0,5(\angle A+\angle B)=180^\circ-0,5\cdot 122^\circ=119^\circ\).

Ответ: 119

Задание 13 #5819

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 81^{\circ}\), \(\angle C = 25^{\circ}\). Найдите внешний угол при вершине \(A\). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle B + \angle C =\) внешнему углу при вершине \(A\), следовательно \(A_{\text{внеш}}\) \( = 81^{\circ} + 25^{\circ} = 106^{\circ}\).

Ответ: 106

Задание 14 #5820

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 22^{\circ}\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(130^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle A + \angle B = C_{\text{внеш}}\), тогда \(22^{\circ} + \angle B = 130^{\circ}\), откуда находим \(\angle B = 130^{\circ} - 22^{\circ} = 108^{\circ}\).

Ответ: 108