Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и ромб (страница 3)

Задание 15 #5880

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении \(4:3\), считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен \(88\).

Из условия задачи следует, что \(AK:KD=4:3\). Обозначим \(AK=4x\), \(KD=3x\). Следовательно, \(AD=7x\).
Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то \(\angle AKB=\angle KBC\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BC\) и секущей \(BK\). Следовательно, \(\angle AKB=\angle ABK\), то есть \(\triangle ABK\) равнобедренный: \(AK=AB\). Отсюда \(AB=4x\).
Следовательно, периметр \(88=2(4x+7x)\) (так как противоположные стороны параллелограмма равны), следовательно, \(x=4\).
Значит, большая сторона параллелограмма равна \(7x=28\).

Ответ: 28

Задание 16 #5881

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна \(5\). Найдите его большую сторону.

\(AB=5\). Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то \(\angle AKB=\angle KBC\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BC\) и секущей \(BK\). Следовательно, \(\angle AKB=\angle ABK\), то есть \(\triangle ABK\) равнобедренный: \(AK=AB\).
Аналогично \(DC=DK\).
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то \(AK=AB=5=CD=DK\). Следовательно, \(AD=5+5=10\) – большая сторона.

Ответ: 10

Задание 17 #5882

Найдите высоту ромба, сторона которого равна \(\sqrt3\), а острый угол равен \(60^\circ\).

\(AD=\sqrt3\), \(\angle A=60^\circ\). Следовательно, \(\angle ADH=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(AH=0,5AD=\frac{\sqrt3}2\). Тогда по теореме Пифагора: \[DH=\sqrt{(\sqrt3)^2-\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2}=\dfrac32\]

Ответ: 1,5

Задание 18 #5883

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна \(\sqrt3\), а острый угол равен \(60^\circ\).

\(\angle A=60^\circ\).
Проведем диагональ \(BD\). Пусть \(AC\cap BD=O\). Докажем, что \(AC\) – большая диагональ.



Так как в ромбе, как и в параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=0,5AC, DO=0,5BD\). Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны, то \(\angle DAO=30^\circ\), \(\angle AOD=90^\circ\) и соответственно \(\angle ADO=60^\circ\). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, следовательно, \(AO>DO\), значит, \(AC\) – большая диагональ.

 

Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(DO=0,5AD=\frac{\sqrt3}2\). Тогда по теореме Пифагора: \[AO=\sqrt{(\sqrt3)^2-\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2}=\dfrac32 \quad\Rightarrow\quad AC=3\]

Ответ: 3

Задание 19 #5884

Диагонали ромба относятся как \(4:3\). Периметр ромба равен \(200\). Найдите высоту ромба.

Отрезок \(HK\) – высота ромба. Так как \(AB\parallel DC\) и \(HK\perp AB\), то \(HK\perp DC\).

 

Так как диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а у равных треугольников высоты, опущенные к равным сторонам, равны, то \(OK=OH\).
Рассмотрим \(\triangle AOB\). Так как \(AC:BD=4:3\), то также \(AO:BO=4:3\). Пусть \(AO=4x, BO=3x\). Следовательно, \(AB=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x\).
Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна \(200:4=50\), следовательно, \(5x=50\) и \(x=10\).
Высота прямоугольного треугольника \(AOB\), опущенная из вершины прямого угла \(O\), равна \(AO\cdot OB:AB\), следовательно, \[OK=\dfrac{4x\cdot 3x}{5x}=\dfrac{12}5x=24\quad\Rightarrow\quad HK=24\cdot 2= 48\]

Ответ: 48

Задание 20 #5885

В ромбе \(ABCD\) угол \(CDA\) равен \(78^\circ\). Найдите угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle ACB=\angle ACD\). Так как у ромба все стороны равны, то \(AD=DC\), следовательно, \(\angle CAD=\angle ACD=x\). Тогда \(x+x+\angle CDA=180^\circ\), откуда \[x=(180^\circ-78^\circ):2=51^\circ\]

Ответ: 51

Задание 21 #5886

В ромбе \(ABCD\) угол \(DAB\) равен \(148^\circ\). Найдите угол \(BDC\). Ответ дайте в градусах.

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle BDC=\angle BDA\). Так как у ромба все стороны равны, то \(AD=AB\), следовательно, \(\angle BDA=\angle DBA=x\). Тогда \(x+x+\angle DAB=180^\circ\), откуда \[x=(180^\circ-148^\circ):2=16^\circ\]

Ответ: 16