Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник (страница 3)

Задание 15 #5862

В треугольнике \(ABC\): \(AE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(O\), \(\angle FBC = 19^{\circ}\). Найдите \(\angle FOE\). Ответ дайте в градусах.

Треугольник \(BOE\) – прямоугольный, \(\angle OBE = 19^{\circ}\), тогда \(\angle BOE = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}\). \(\angle FOE\) – смежный с \(\angle BOE\), тогда их сумма равна \(180^{\circ}\) и, значит, \(\angle FOE = 109^{\circ}\).

Ответ: 109

Задание 16 #5861

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 60^{\circ}\), \(\angle C = 80^{\circ}\), \(AD\) и \(CE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\). Найдите \(\angle EFD\). Ответ дайте в градусах.

Треугольник \(AEC\) – прямоугольный, \(\angle A = 60^{\circ}\), тогда \(\angle ACE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Аналогично в треугольнике \(ADC\) находим, что \(\angle DAC = 10^{\circ}\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle AFC = 180^{\circ} - 10^{\circ} - 30^{\circ} = 140^{\circ}\). Углы \(AFC\) и \(EFD\) равны как вертикальные, тогда \(\angle EFD = 140^{\circ}\).

Ответ: 140

Задание 17 #5860

В треугольнике \(ABC\): \(CE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(T\), \(\angle CTB = 152^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle FTC = 180^{\circ} - \angle CTB = 28^{\circ}\), тогда \(\angle TCF = 90^{\circ} - \angle FTC = 62^{\circ}\) (так как \(\angle TFC = 90^{\circ}\)). Треугольник \(AEC\) – прямоугольный. \(\angle A = 90^{\circ} - \angle TCF = 28^{\circ}\).

Ответ: 28

Задание 18 #5859

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) и \(BE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\), \(\angle EFD = 104^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle AFE = 180^{\circ} - \angle EFD = 76^{\circ}\), тогда \(\angle FAE = 90^{\circ} - \angle AFE = 14^{\circ}\) (так как \(\angle FEA = 90^{\circ}\)). Треугольник \(ADC\) – прямоугольный. \(\angle C = 90^{\circ} - \angle FAE = 76^{\circ}\).

Ответ: 76

Задание 19 #5858

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 22^{\circ}\). Найдите \(\angle BAC\). Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AE = BE\), значит треугольник \(AEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle ABE\).

Так как \(\angle B = 90^{\circ}\), \(\angle CBE = 22^{\circ}\), то \(\angle ABE = 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ}\), откуда \(\angle BAC = 68^{\circ}\).

Ответ: 68

Задание 20 #5857

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 25^{\circ}\). Найдите \(\angle AEB\). Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle C = \angle CBE = 25^{\circ}\).

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним, то \(\angle AEB = \angle C + \angle CBE = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

Задание 21 #5856

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CE\) – медиана, \(\angle ACE = 50^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle ECB = \angle ACB - \angle ACE = 40^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle B = \angle ECB = 40^{\circ}\).

Ответ: 40