Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник (страница 3)

Задание 15 #5868

В равностороннем треугольнике \(ABC\) высота \(CH\) равна \(2\sqrt3\). Найдите \(AB\).

Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой. Следовательно, если \(AH=a\), то \(AB=AC=2a\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[AC^2=AH^2+CH^2\quad\Rightarrow\quad 4a^2=a^2+12\quad\Rightarrow\quad a=2\quad\Rightarrow\quad AB=2a=4\]

Ответ: 4

Задание 16 #5869

В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=4\), \(\angle C=30^\circ\). Найдите высоту \(AH\).

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(AH=0,5AC=2\).

 

Заметим, что условие \(BC=4\) в данной задаче является лишним.

Ответ: 2

Задание 17 #5870

В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), высота \(AH\) равна \(4\), угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите \(BC\).

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(4=AH=0,5AC\), откуда \(8=AC=BC\).

Ответ: 8

Задание 18 #5871

В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=2\sqrt3\), \(\angle C=120^\circ\). Найдите высоту \(AH\).

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Так как \(\angle ACB=120^\circ\), то \(\angle ACH=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Следовательно, \(\angle HAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(HC=0,5AC=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=3\]

Ответ: 3

Задание 19 #5872

В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), \(\angle C=120^\circ\), \(AB=2\sqrt3\). Найдите \(AC\).

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle AHB\).



Так как \(\angle C=120^\circ\) и \(AC=CB\), то \(\angle B=(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ\).
Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(HA=0,5AB=\sqrt3\).

 

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Так как \(\angle ACB=120^\circ\), то \(\angle ACH=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Следовательно, \(\angle HAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Следовательно, \(HC=0,5AC\). Тогда по теореме Пифагора \[AC^2=HC^2+HA^2\quad\Rightarrow\quad AC^2=\dfrac{AC^2}4+3\quad\Rightarrow\quad AC=2\]

Ответ: 2

Задание 20 #5873

В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), \(\angle C=120^\circ\), \(AC=2\sqrt3\). Найдите \(AB\).

Проведем \(CK\perp AB\):



Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(CK\) также является медианой и биссектрисой, следовательно, \(AK=0,5AB\) и \(\angle ACK=60^\circ\). Тогда \(\angle CAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то есть \(CK=0,5AC=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора: \[AK=\sqrt{AC^2-CK^2}=3\quad\Rightarrow\quad AB=2AK=6\]

Ответ: 6

Задание 21 #5874

В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(56^\circ\), углы \(B\) и \(C\) – острые. Высоты \(BD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(DOE\). Ответ дайте в градусах.

1 способ

 

Проведем \(OA\).



Тогда \(\angle DOE=\angle DOA+\angle EOA\). Так как \(\angle AEO=\angle ADO=90^\circ\), то из прямоугольных треугольников \(\triangle AEO\) и \(\triangle ADO\) \(\angle EOA=90^\circ-\angle OAE\), \(\angle DOA=90^\circ-\angle OAD\). Следовательно: \[\angle DOE=\angle DOA+\angle EOA=90^\circ-\angle OAD+90^\circ-\angle OAE= 180^\circ-(\angle OAD+\angle OAE)=180^\circ-\angle A=180^\circ-56^\circ=124^\circ\]

2 способ

 

Вспомним, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\). Тогда для четырехугольника \(AEOD\): \(\angle A+\angle E+\angle O+\angle D=360^\circ\), откуда \[\angle DOE=\angle O=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ\]

Ответ: 124