Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Равнобедренный треугольник (страница 2)

Задание 8 #5843

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 51^{\circ}\), \(\angle C = 77^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(P\) – такая точка на \(AB\), что \(PB = BC\). Найдите \(\angle ADP\). Ответ дайте в градусах.

Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 51^{\circ} - 77^{\circ} = 52^{\circ}\). Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD = 0,5\cdot \angle ABC = 26^{\circ}\).

Треугольники \(PBD\) и \(CBD\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle PDB = \angle CDB\). \(\angle CDB = 180^{\circ} - \angle CBD - \angle C = 180^{\circ} - 26^{\circ} - 77^{\circ} = 77^{\circ}\), тогда \(\angle PDC = 2\cdot \angle CDB = 154^{\circ}\). Тогда \(\angle ADP = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}\).

Ответ: 26

Задание 9 #5847

В треугольнике \(ABC\): \(BM\) – высота, причем \(AM = MC\), \(\angle ABM = 28^{\circ}\). Найдите \(\angle ABC\). Ответ дайте в градусах.

в треугольниках \(ABM\) и \(BMC\):

\(AM = MC\),

\(\angle AMB = \angle BMC\),

\(MB\) – общая,

тогда треугольники \(ABM\) и \(BMC\) равны по двум сторонам и углу между ними и, значит, \(AB = BC\), то есть треугольник \(ABC\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой, значит \(\angle MBC = \angle ABM = 28^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 2\cdot \angle ABM = 56^{\circ}\).

Ответ: 56

Задание 10 #5850

В треугольнике \(ABC\): \(BN\) и \(CM\) – медианы, \(P\) – точка пересечения \(BN\) и \(CM\), \(\angle PBC = 35^{\circ}\), \(\angle BPC = 110^{\circ}\), \(AB = 4\). Найдите \(NC\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle PCB = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 35^{\circ} = 35^{\circ} = \angle PBC\), значит, треугольник \(PBC\) – равнобедренный и \(PB = PC\).

В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Так как \(PB = PC\), то \(MP = 0,5\cdot PC = 0,5 \cdot PB = PN\).

\(\angle MPB\) и \(\angle NPC\) – вертикальные, а значит, равные.

Таким образом, треугольники \(MPB\) и \(PNC\) – равны (по двум сторонам и углу между ними), тогда \(NC = MB = 0,5\cdot AB = 2\).

Ответ: 2

Задание 11 #5849

В треугольнике \(ABC\): \(BF\) и \(AE\) – медианы, \(AE = BF\), \(O\) – точка пересечения \(BF\) и \(AE\), \(\angle FOE = 147^{\circ}\). Найдите \(\angle ABO\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle AOB = \angle FOE = 147^{\circ}\) (как вертикальные).

В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Так как \(AE = BF\), то \(AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}BF = BO\), тогда треугольник \(ABO\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle OAB = \angle ABO\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(180^{\circ} = \angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 2\cdot \angle ABO + 147^{\circ}\), откуда \(\angle ABO = 16,5^{\circ}\).

Ответ: 16,5

Задание 12 #5848

В треугольнике \(ABC\): \(BM\) и \(CN\) – медианы, \(BM = CN\), \(O\) – точка пересечения \(BM\) и \(CN\), \(\angle OBC = 36^{\circ}\). Найдите \(\angle BOC\). Ответ дайте в градусах.

В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Так как \(BM = CN\), то \(BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}CN = CO\), тогда треугольник \(BOC\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle OCB = \angle OBC = 36^{\circ}\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 36^{\circ} = 108^{\circ}\).

Ответ: 108

Задание 13 #5836

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CD\) – высота, \(AC = BC\), \(AB = 33\). Найдите \(CD\).

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой, тогда \(BD = 0,5\cdot AB = 16,5\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle DBC = \angle BAC = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}\).
Так как \(CD\) – биссектриса, \(\angle DCB = 45^{\circ}\), то есть в треугольнике \(DCB\) углы при основании \(BC\) равны, тогда треугольник \(DCB\) – равнобедренный и \(CD = BD = 16,5\).

Ответ: 16,5

Задание 14 #5846

В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(BM\) – биссектриса, \(AC = 5\). Найдите \(AM\).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда \(BM\) – медиана и \(AM = MC\). Таким образом, \(5 = AC = AM + MC = 2\cdot AM\), откуда находим \(AM = 2,5\).

Ответ: 2,5