Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площади и углы трапеции (страница 2)

Задание 8 #5905

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 4\) и \(AD > BC\) угол \(A\) – прямой. Известно, что \(CD = 6\), \(\angle D = 60^{\circ}\). Найдите среднюю линию трапеции \(ABCD\).


 

Из точки \(C\) опустим высоту \(CE\). В прямоугольном треугольнике \(CDE\): \(\angle ECD = 30^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\) равен половине гипотенузы, тогда \(DE = 0,5\cdot CD = 3\). При этом \(ABCE\) – прямоугольник, \(AE = BC = 4\), тогда \(AD = AE + ED = 4 + 3 = 7\).

В трапеции средняя линия равна полусумме оснований. \(0,5(BC + AD) = 0,5(4 + 7) = 5,5\), значит, длина средней линии равна \(5,5\).

Ответ: 5,5

Задание 9 #5906

В трапеции \(ABCD\) средняя линия составляет \(\dfrac{4}{5}\) одного из оснований. Найдите отношение длины другого основания к длине средней линии.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Полусумма оснований трапеции \(ABCD\) составляет \(0,8\) одного из оснований, тогда сумма оснований трапеции \(ABCD\) составляет \(2\cdot 0,8 = 1,6\) этого основания, обозначим его за \(AD\). Тогда \(BC + AD = 1,6AD\), откуда \(BC = 0,6AD\). Средняя линия равна \(0,8AD\), тогда отношение длины основания \(BC\) к длине средней линии равно \(0,6 : 0,8 = 0,75\).

Ответ: 0,75

Задание 10 #5907

\(ABCD\) – трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\). При этом \(AB = CD = 6\), \(BC = 4\), один из углов трапеции \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\). Найдите \(AD\).

Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\), \(BE\) – высота в треугольнике \(ABD\). \(\angle ABE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы, тогда \(AE = 0,5\cdot 6 = 3\).



У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда \(\angle D = 60^{\circ}\). Пусть \(CF\) – высота в треугольнике \(ACD\), тогда аналогично тому, как находили \(AE\), находим, что \(FD = 3\). \(EF = BC\), так как \(BCFE\) – прямоугольник. Тогда \(AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10\).

Ответ: 10

Задание 11 #5908

В трапеции \(ABCD\): \(AB = CD\), \(\angle C - \angle A = 80^{\circ}\). Найдите \(\angle D + \angle B - \angle C\). Ответ дайте в градусах.

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда \(\angle B = \angle C\) и, следовательно, \(\angle D + \angle B - \angle C = \angle D = \angle A\).

У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\) (так как \(\angle C = \angle B\), а \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).

\(\angle A + \angle C = 180^{\circ}\),

\(\angle C - \angle A = 80^{\circ}\)
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем \(2\cdot \angle A = 100^{\circ}\). В итоге имеем: \(\angle D + \angle B - \angle C = \angle A = 50^{\circ}\).

Ответ: 50