Площади и углы треугольников (страница 2)

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине \(A\) равен \(\angle B + \angle C\) в треугольнике \(ABC\).

Аналогично внешний угол при вершине \(B\) равен \(\angle A + \angle C\) в треугольнике \(ABC\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(\angle A + \angle B\) в треугольнике \(ABC\).

Таким образом, сумма внешних углов равна \(\angle B + \angle C + \angle A + \angle C + \angle A + \angle B = 2(\angle A + \angle B + \angle C)\) в треугольнике \(ABC\), но эта сумма есть удвоенная сумма углов треугольника.

Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то сумма внешних углов равна \(180^{\circ} \cdot 2 = 360^{\circ}\).

Ответ: 360

\(AM = MN\),

\(MN = NC\),

тогда \(AC = AM + MN + NC = 3\cdot MN\).

\(AC : MN = 3\).

Ответ: 3

\(\angle AKB = \angle PKQ\), так как они вертикальные.

\(\angle KAB = 0,5\cdot \angle CAB\), \(\angle ABK = 0,5\cdot \angle ABC\), тогда при учёте того, что сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\) (\(\angle CAB + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}\)):

\(\angle KAB + \angle ABK = 0,5\cdot (\angle CAB + \angle ABC) = 0,5\cdot (180^{\circ} - 75^{\circ}) = 52,5^{\circ}\), значит,

\(\angle AKB = 180^{\circ} - (\angle KAB + \angle ABK) = 180^{\circ} - 52,5^{\circ} = 127,5^{\circ}\). Таким образом, \(\angle PKQ = 127,5^{\circ}\).

Ответ: 127,5

По теореме о биссектрисе (биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам) имеем: \(\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{BC}{MC}\), тогда \(\dfrac{AB}{3} = \dfrac{10}{5} = 2\), откуда \(AB = 6\).

Ответ: 6

В треугольнике \(ABC\) \(\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).
Заметим, что \(\angle AOB=180^\circ-(\angle OAB+\angle OBA)=180^\circ-0,5(\angle A+\angle B)=180^\circ-0,5\cdot 122^\circ=119^\circ\).

Ответ: 119

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle B + \angle C =\) внешнему углу при вершине \(A\), следовательно \(A_{\text{внеш}}\) \( = 81^{\circ} + 25^{\circ} = 106^{\circ}\).

Ответ: 106

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle A + \angle B = C_{\text{внеш}}\), тогда \(22^{\circ} + \angle B = 130^{\circ}\), откуда находим \(\angle B = 130^{\circ} - 22^{\circ} = 108^{\circ}\).

Ответ: 108