Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Формулы и задачи по тригонометрии (страница 3)

Задание 15 #5923

Основания равнобедренной трапеции равны \(51\) и \(65\). Боковые стороны равны \(25\). Найдите синус острого угла трапеции.

Рассмотрим рисунок:


 

Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=7\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABH\): \[BH=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{(25-7)(25+7)}=\sqrt{18\cdot 32}=3\cdot 8=24\] Тогда из \(\triangle ABH\) \[\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{24}{25}=0,96\]

Ответ: 0,96

Задание 16 #5924

Основания равнобедренной трапеции равны \(43\) и \(73\). Косинус острого угла трапеции равен \(\dfrac57\). Найдите боковую сторону трапеции.


 

Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=15\). Тогда из \(\triangle ABH\): \[\dfrac57=\cos\angle A=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=21\]

Ответ: 21

Задание 17 #5925

Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\). Боковая сторона равна \(14\). Синус острого угла равен \(\dfrac{2\sqrt{10}}7\). Найдите меньшее основание.


 

Проведем \(BH\perp AD\). Из \(\triangle ABH\): \[\dfrac{2\sqrt{10}}7=\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt{10}\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{14^2-(4\sqrt{10})^2}=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\), то \(BC=AD-2AH=34-12=22\).

Ответ: 22

Задание 18 #5926

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\sin {\angle BAC} = \dfrac{2}{3}\). Найдите \(AC\), если \(AB = 6\sqrt{5}\).



Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{3}\qquad\Rightarrow\qquad BC = \dfrac{2}{3}AB = 4\sqrt{5}.\]

По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\), тогда \(AC = 10\).

Ответ: 10

Задание 19 #5927

В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 15\), \(\sin{\angle D} = 0,4\). Найдите длину \(h\) – высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AD\).



В параллелограмме сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\), тогда \(\sin{\angle A} = \sin{(\pi - \angle D)} = \sin{\angle D} = 0,4\).

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[0,4 = \dfrac{h}{AB} = \dfrac{h}{15} \qquad\Rightarrow\qquad h = 6.\]

Ответ: 6

Задание 20 #5928

В прямоугольнике \(ABCD\) известно, что \(BC:AB = 2:1\), \(AC\) – диагональ. Найдите отношение косинуса угла \(CAD\) к косинусу угла \(ACD\).



По определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что \(\cos{\angle ACD} = \sin{\angle CAD}\), тогда \[\dfrac{\cos{\angle CAD}}{\cos{\angle ACD}} = \dfrac{\cos{\angle CAD}}{\sin{\angle CAD}} = \mathrm{ctg}\, \angle CAD = \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BC}{AB} = 2.\]

Ответ: 2

Задание 21 #5929

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\mathrm{ctg}\, \angle B = 0,6\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\). Найдите \(AB + AC\).



\[0,6 = \mathrm{ctg}\, \angle B = \dfrac{AB}{AC}.\]

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\), тогда \(7,5 = 0,5\cdot AB\cdot AC\).

Таким образом, \[\dfrac{AB}{AC} = 0,6,\qquad AB\cdot AC = 15.\] Перемножая равенства, получим \(AB^2 = 9\), тогда \(AB = 3\), \(AC = 5\), значит, \(AB + AC = 8\).

Ответ: 8