Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Формулы и задачи по тригонометрии (страница 4)

Задание 22 #5930

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AD = 5\), \(AD\parallel BC\), \(BD\) перпендикулярна к \(AD\), \(\sin{\angle A} = \cos{\angle A}\), \(\sin{\angle C} = \dfrac{5}{\sqrt{34}}\). Найдите \(BC\).


 

Треугольник \(ABD\) – прямоугольный, тогда \(\angle A\) – острый. В силу основного тригонометрического тождества (для любого угла \(\alpha\) выполнено \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)) из равенства \(\sin{\angle A} = \cos{\angle A}\) получаем, что \[\sin{\angle A} = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\] но \(\angle A\) – острый, тогда \[\sin{\angle A} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\] и, значит, \(\angle A = 45^{\circ}\).

\(\angle ABD = 90^{\circ} - \angle A = 45^{\circ} = \angle A\), тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный и \(BD = AD = 5\).

\(AD \parallel BC\), \(BD\) перпендикулярна к \(AD\), тогда \(BD\) перпендикулярна и к \(BC\).

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, то \[\dfrac{5}{\sqrt{34}} = \dfrac{5}{CD} \qquad\Rightarrow\qquad CD = \sqrt{34}.\]

По теореме Пифагора \(BC^2 = CD^2 - BD^2 = 34 - 25 = 9 = 3^2\), тогда \(BC = 3\).

Ответ: 3

Задание 23 #5931

Большее основание равнобедренной трапеции равно \(25\). Боковая сторона равна \(3\). Синус острого угла равен \(\frac{\sqrt{11}}6\). Найдите меньшее основание.

Проведем две высоты \(CK\) и \(DH\). По свойству равнобедренной трапеции \(HDCK\) – прямоугольник, то есть \(KH=CD=x\). Тогда \(AH+BC=25-x\), откуда \[AH=\dfrac{25-x}2\]

Так как \(\sin\angle A=\frac{\sqrt{11}}6\), то \[\cos \angle A=\sqrt{1-\dfrac{11}{36}}=\dfrac56\] Следовательно, из \(\triangle ADH\): \[\dfrac56=\cos \angle A=\dfrac{AH}{AD}\quad\Rightarrow\quad x=20\]

Ответ: 20