14. Неравенства и их системы
Укажите множество решений двойного неравенства \(2<4-\frac15x<5\).
1) \(x<10\)
2) \(x>-5\)
3) \(-10<x<5\)
4) \(-5<x<10\)
Преобразуем двойное неравенство. Для этого нужно делать одинаковые действия со всеми тремя частями неравенства, чтобы высвободить \(x\): \[\begin{aligned} &2<4-\frac15x<5 \ \Big| -4 \\[2ex] &-2<-\frac15x<1 \ \Big|\cdot (-5)\\[2ex] &10>x>-5 \\[1ex] &-5<x<10 \end{aligned}\] Таким образом, правильный ответ 4.
Ответ: 4
Укажите множество решений двойного неравенства \[1,8x-2,5<0,8x-0,5<2,8x-1,5\]
1) \((-\infty;2)\)
2) \((0,5; 2)\)
3) \((0,5;+\infty)\)
4) нет решений
Преобразуем данное неравенство в систему и решим ее: \[\begin{aligned}
&\begin{cases} 0,8x-0,5>1,8x-2,5\\0,8x-0,5<2,8x-1,5
\end{cases}\quad\Leftrightarrow \\[2ex]
&\begin{cases} -0,5+2,5>1,8x-0,8x\\
-0,5+1,5<2,8x-0,8x\end{cases} \quad\Leftrightarrow\\[2ex]
&\begin{cases} 2>x\\
1<2x\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[1ex]
&\begin{cases} x<2\\
x>\frac12\end{cases} \end{aligned}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ 2.
Ответ: 2
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} (8-5x)(\sqrt7-3)<0,\\ 0,6x<3.\end{cases}\)
1) \(x<5\)
2) \(x>1,6\)
3) \(x<1,6\)
4) \(1,6<x<5\)
Заметим, что \(\sqrt7-3\) – просто число, причем отрицательное, так как \(\sqrt7<\sqrt9=3\). Разделим обе части первого неравенства на \(\sqrt7-3\), причем, так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный. Получим: \[\begin{cases} 8-5x>0\\[1ex] x<\frac3{0,6}
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x<\frac85\\[1ex] x<5
\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ 3.
Ответ: 3
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} 5(2x+3)-2(5x+3)>0,\\[1ex] \frac27x<\frac72x+9.\end{cases}\)
1) \((-2,8; +\infty)\)
2) \((-1,05; +\infty)\)
3) нет решений
4) \((-\infty;-2,8)\)
Преобразуем систему: \[\begin{cases} 10x+15-10x-6>0\\[1ex] \frac{4-49}{14}x<9
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} 9>0\\[1ex] -\frac{45}{14}x<9 \ \Big|\cdot
-\frac{45}{14}
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x - {\small \text{любой}}\\[1ex] x>-\frac{14}5
\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(x>-2,8\). Выбираем пункт 1.
Ответ: 1
Найдите наименьшее натуральное решение системы неравенств \(\begin{cases} -35+5x>17+2x,\\ 77-4x>2x-58.\end{cases}\)
Преобразуем систему: \[\begin{cases}5x-2x>17+35 \\ 77+58>2x+4x
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x>\frac{52}3\\[1ex]
x<\frac{135}6\end{cases}\] Заметим, что \(\frac{52}3=\frac{104}6\), следовательно, \(\frac{52}3<\frac{135}6\). Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(\frac{52}3<x<\frac{135}6\) или же \(17\frac13<x<22\frac12\). Следовательно, наименьшее натуральное решение – это \(x=18\).
Ответ: 18
