Центральные и вписанные углы (страница 2)

Рассмотрим картинку:

Вписанные углы \(KML\) и \(KNL\) опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, значит, \(\angle KNL=35^\circ\). Тогда \(\angle NLM=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

Ответ: 55

Рассмотрим картинку:

Т.к. \(BC\parallel AD\), то \(\angle CBT=\angle DAT=30^\circ\). \(\angle DCK\), как вписанный и опирающийся на дугу \(KD\), равен ее половине, то есть \(20^\circ\). \(\angle CKD\) опирается на диаметр \(CD\), следовательно, равен половине от половины окружности, то есть \(90^\circ\). Значит, \(\angle CDK=180^\circ -90^\circ -20^\circ=70^\circ\).

\(\angle BTD\) — внешний угол для треугольника \(ATD\), следовательно, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \(\angle BTD=\angle TDA+\angle TAD=30^\circ+70^\circ=100^\circ\).

Ответ: 100

Рассмотрим картинку:

Т.к. \(\triangle BAC\) и \(DAC\) – равнобедренные, то \(\angle BAC=\angle BCA, \ \angle DAC=\angle DCA\). Таким образом, \(\angle A=\angle C\).

Т.к. \(\angle A, \angle C\) – вписанные, то \(\angle A+\angle C=\frac12\left(\buildrel\smile\over{DCB}+\buildrel\smile\over{DAB}\right)\).
Заметим, что эти дуги в сумме дают всю окружность, то есть \(360^\circ\). Следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\), следовательно, \(\angle A=\angle C=90^\circ\).

Ответ: 90

Рассмотрим картинку:

Т.к. \(\buildrel\smile\over{AK}:\buildrel\smile\over{KB}=11:8\), то можно обозначить \(\buildrel\smile\over{AK}=11x, \buildrel\smile\over{KB}=8x\).

Дуга \(\buildrel\smile\over{AKB}=360^\circ -170^\circ=190^\circ\). Следовательно, \(11x+8x=19x=190^\circ \quad \Rightarrow \quad x=10^\circ\). Значит, дуга \(\buildrel\smile\over{KB}=8x=80^\circ\). Угол \(BAK\) вписанный и опирается на эту дугу, следовательно, он равен ее половине, то есть \(40^\circ\).

Ответ: 40

Обозначим хорду за \(AB\). Рассмотрим \(\triangle AOB\), где \(O\) – центр окружности.



Так как \(AB\) равна радиусу окружности, то \(\triangle AOB\) – равносторонний. Следовательно, \(\angle AOB=60^\circ\). Заметим, что \(\angle AOB\) и \(\angle ACB\) – центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, \(\angle ACB=0,5\angle AOB=30^\circ\).

Ответ: 30

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то меньшая \(\buildrel\smile\over{DA}\,=2\cdot 75^\circ=150^\circ\) (см.рис.). Аналогично меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{CD}\,=2\cdot 35^\circ=70^\circ\) (см.рис.). Следовательно, дуга \(\buildrel\smile\over{CDA}\,=150^\circ+70^\circ=220^\circ\). Значит \(\angle ABC\), как вписанный и опирающийся на дугу, равную \(220^\circ\), сам равен \(110^\circ\).

Ответ: 110

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\buildrel\smile\over{CDA}\,=2\cdot 105^\circ=210^\circ\). Аналогично меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{CD}\,=2\cdot 35^\circ=70^\circ\) (см.рис.). Следовательно, меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AD}\,=210^\circ-70^\circ=140^\circ\) (см.рис.). Значит \(\angle ABD\), как вписанный и опирающийся на дугу, равную \(140^\circ\), сам равен \(70^\circ\).

Ответ: 70