Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Описанная окружность (страница 3)

Задание 15 #6060

Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE\), \(AE=8\sqrt3\), \(\angle A=45^\circ\). Найдите высоту треугольника \(ACE\), опущенную из вершины угла \(C\).

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Следовательно, \(\angle A=45^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=30^\circ\).

 

Тогда \(\angle CAE=\frac12\cdot 2\alpha=30^\circ\).

 

Заметим, что \(\triangle ACE\) – равнобедренный (\(\angle A=\angle E=\alpha\)), следовательно, \(CH\) – высота и медиана, то есть \(AH=\frac12\cdot AE=4\sqrt3\). Значит:

\[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{CH}{AH} \quad \Rightarrow \quad CH=4.\]

Ответ: 4

Задание 16 #6061

Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE\). Радиус этой окружности равен \(5\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(BQD\), где \(Q\) – точка пересечения отрезков \(AD\) и \(BE\).

Рассмотрим картинку:


 

1) Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Пусть также \(\buildrel\smile\over{EA}=\beta\).

 

2) \(\angle CBE=\frac12(\alpha+\alpha)=\alpha\), \(\angle BCD=\frac12(\alpha+\beta+\alpha)=\alpha+\frac12\beta\). Следовательно, \(\angle CBE+\angle BCD=2\alpha+\frac12\beta\).

 

Заметим, что градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), следовательно, \(4\alpha+\beta=360^\circ\), откуда \(2\alpha+\frac12\beta=180^\circ\). Таким образом, \(\angle CBE\) и \(\angle BCD\) – односторонние углы при прямых \(CD\) и \(BE\) и секущей \(BC\). Следовательно, \(CD\parallel BE\).

 

Аналогично доказывается, что \(AD\parallel BC\).

 

3) Значит, \(BCDQ\) – параллелограмм (\(BQ\parallel CD, BC\parallel QD\)). А в параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(BQ=CD=BC=DQ\). То есть \(BCDQ\) – ромб.

 

4) Таким образом, \(\triangle BCD=\triangle BQD\). Значит, и радиусы описанных около этих треугольников окружностей равны. Но радиус описанной около \(\triangle BCD\) окружности равен радиусу описанной около пятиугольника \(ABCDE\) окружности. Следовательно, ответ \(5\).

Ответ: 5

Задание 17 #6062

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен \(22\), средняя линия равна \(5\). Найдите боковую сторону трапеции.



Так как трапеция вписана в окружность, то трапеция является равнобедренной, следовательно, \(AB=CD\). Средняя линия равна полусумме оснований, следовательно, \(AD+BC=2\cdot 5=10\). Тогда \[AB+BC+CD+AD=10+2AB=22\quad\Rightarrow\quad AB=6.\]

Ответ: 6

Задание 18 #6063

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) имеют равные углы \(B\) и \(D\), причем отрезок \(BD\) не пересекает прямую \(AC\). Найдите угол \(DAC\), если угол \(DBC\) равен \(60^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Учитывая условие, рисунок будет выглядеть так:



По признаку четырехугольник \(ABDC\) является вписанным, то есть около него можно описать окружность. Следовательно, \(\angle DAC=\angle DBC=60^\circ\) как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

 

Заметим, что фраза “отрезок не пересекает прямую” абсолютно не значит, что отрезок и прямая параллельны! Вот если бы это было сказано о двух прямых – другое дело. Если бы отрезок пересекал прямую, то картинка выглядела бы, например, так:


 

Ответ: 60

Задание 19 #6064

В окружность вписан равносторонний треугольник \(ABC\). Прямые, содержащие медианы этого треугольника, повторно пересекают окружность в точках \(A', B'\) и \(C'\). Найдите площадь фигуры \(\triangle ABC \cap \triangle A'B'C'\), если \(AB=6\sqrt[4]3\).


 

Фигура, равная \(\triangle ABC \cap \triangle A'B'C'\), это шестиугольник \(QWERTY\).
Заметим, что \(\triangle A'B'C'\) тоже правильный, причем равен \(\triangle ABC\). Покажем, что \(\angle A'B'C'\) равен \(60^\circ\).
\(\angle BAA'=30^\circ\), так как \(AA'\) – биссектриса. Аналогично \(\angle BCC'=30^\circ\). Следовательно, \[\buildrel\smile\over{A'BC'}=\buildrel\smile\over{A'B}+ \buildrel\smile\over{BC'}=2\left( \angle BAA'+\angle BCC'\right)=120^\circ \quad\Rightarrow\quad \angle A'B'C'=\dfrac12\buildrel\smile\over{A'BC'}=60^\circ.\] Аналогично доказывается, что \(A'=C'=60^\circ\).
Следовательно, \(\triangle A'B'C'\) правильный. А так как радиус описанной около него окружности равен радиусу окружности, описанной около \(\triangle ABC\), то треугольники равны.

 

Заметим, что \(QWERTY\) – правильный шестиугольник.
У \(\triangle QAY\) луч \(AA'\) содержит и биссектрису, и высоту, следовательно, \(\triangle QAY\) равнобедренный. А так как его угол \(A\) равен \(60^\circ\), то он равносторонний. Аналогично доказывается, что и другие треугольники равносторонние (\(\triangle YB'T, \triangle TCR\) и т.д.).
Так как \(\angle WBA'=\angle ABA'=90^\circ\) (опирается на диаметр), а \(\angle WBE=60^\circ\), то \(\angle EBA'=\angle EA'B=30^\circ\), следовательно, \(EA'=EB\). Следовательно, \(\triangle WBE=\triangle EA'R\). Аналогично доказывается равенство остальных треугольников.
Следовательно, \(AQ=QW=WB\) и \(AQ+QW+WB=AB=6\sqrt[4]3\), значит, \(QW=2\sqrt[4]3\).
Тогда площадь правильного шестиугольника равна \[S_{QWERTY}=\dfrac{3\sqrt3}2QW^2=18.\]

Ответ: 18

Задание 20 #6065

Угол \(A\) четырехугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, равен \(58^\circ\). Найдите угол \(C\) этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных его углов равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\), откуда \(\angle C=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).

Ответ: 122

Задание 21 #6066

Стороны \(AB, BC, CD, AD\) четырехугольника \(ABCD\) стягивают дуги описанной окружности, градусные меры которых равны соответственно \(95^\circ, 49^\circ, 71^\circ, 145^\circ\). Найдите угол \(B\) этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол \(B\) четырехугольника равен вписанному углу \(ABC\). Этот угол опирается на дугу \(\buildrel\smile\over{ADC}\), равную \(145^\circ+71^\circ=216^\circ\). Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\angle B=\angle ABC=108^\circ\).

Ответ: 108