Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Описанная окружность (страница 4)

Задание 22 #6067

Точки \(A, B, C, D\), расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги \(AB, BC, CD, DA\), градусные величины которых относятся соответственно как \(4:2:3:6\). Найдите угол \(A\) четырехугольника \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.

Так как дуги \(AB, BC, CD, DA\) относятся как \(4:2:3:6\), то можно принять дугу \(AB\) за \(4x\), дугу \(BC\) за \(2x\), дугу \(CD\) за \(3x\) и дугу \(DA\) за \(6x\). Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна \(360^\circ\), то \(4x+2x+3x+6x=360^\circ\), откуда \(x=24^\circ\).
Угол \(A\) равен вписанному углу \(BAD\), опирающемуся на дугу \(\buildrel\smile\over{BCD}\), равную \(2x+3x=5x=120^\circ\). Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то \(\angle A=60^\circ\).

Ответ: 60

Задание 23 #6068

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(ABC\) равен \(110^\circ\), угол \(ABD\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(CAD\). Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, \(\angle CAD=\angle CBD\).
\(\angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=110^\circ-70^\circ=40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 24 #6069

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(1\). Противолежащий ей угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin30^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]

Ответ: 1

Задание 25 #6070

Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB=R\). Тогда нужно найти \(\angle C\). По теореме синусов: \[\dfrac{AB}{\sin \angle C}=2R\quad\Rightarrow\quad \sin\angle C=\dfrac{AB}{2R}=\dfrac R{2R}=\dfrac12\] Так как треугольник остроугольный, то \(\angle C=30^\circ\).

Ответ: 30

Задание 26 #6071

Угол \(C\) треугольника \(ABC\), вписанного в окружность радиуса \(3\), равен \(30^\circ\). Найдите сторону \(AB\) этого треугольника.

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[AB=2R\cdot \sin\angle C=2\cdot 3\cdot \sin30^\circ=3\]

Ответ: 3

Задание 27 #6072

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(1\). Противолежащий ей угол \(C\) равен \(150^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin150^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]

Ответ: 1

Задание 28 #6073

Сторона \(AB\) тупоугольного треугольника \(ABC\) равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB=R\). По теореме синусов: \[\dfrac{AB}{\sin \angle C}=2R\quad\Rightarrow\quad \sin\angle C=\dfrac{AB}{2R}=\dfrac R{2R}=\dfrac12\] Так как \(\angle C\) тупой, то \(\angle C=150^\circ\).

Ответ: 150