Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Описанная окружность (страница 6)

Задание 36 #6081

Восьмиугольник \(ABCDEFGH\) вписан в окружность. Найдите \(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle HAB\), \(\angle BCD\), \(\angle DEF\) и \(\angle FGH\) – вписанные, тогда \(\angle HAB = 0,5\cdot\smile BCDEFGH\), \(\angle BCD = 0,5\cdot\smile DEFGHAB\), \(\angle DEF = 0,5\cdot\smile FGHABCD\), \(\angle FGH = 0,5\cdot\smile HABCDEF\).



Назовём меньшую дугу \(\smile AB\) малой. Аналогично назовём меньшие дуги \(\smile BC\), ..., \(\smile HA\) малыми.

Каждую из дуг \(\smile BCDEFGH\), \(\smile DEFGHAB\), \(\smile FGHABCD\), \(\smile HABCDEF\) можно разложить в сумму малых дуг.

\(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 0,5\cdot\)(сумму некоторых малых дуг). Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, \(\smile AB\) войдёт трижды (среди слагаемых \(\smile BCDEFGH\), \(\smile DEFGHAB\), \(\smile FGHABCD\), \(\smile HABCDEF\) она не входит только в \(\smile BCDEFGH\)).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму трижды, следовательно, \[\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 0,5\cdot 3l,\] где \(l\) – градусная мера окружности.

Так как \(l = 360^\circ\), то \(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 540^\circ\).

Ответ: 540