Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15 #5978

Хорды \(KN\) и \(LM\) взаимно перпендикулярны. Найдите угол \(NLM\), если угол \(KML\) равен \(35^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим картинку:


 

Вписанные углы \(KML\) и \(KNL\) опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, значит, \(\angle KNL=35^\circ\). Тогда \(\angle NLM=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

Ответ: 55

Задание 16 #5979

На рисунке \(O\) – центр окружности, \(AO=OB=BC=CA\). Найдите угол \(ADC\). Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. Следовательно, \(AOBC\) – ромб. Значит, диагонали делят его углы пополам. Следовательно, \(\angle AOC=\angle BOC=\angle ACO=\angle BCO=x\).

 

Следовательно, \(\buildrel\smile\over{AC}=\buildrel\smile\over{CB}=x\) (т.к. на них опираются центральные углы \(AOC\) и \(BOC\), равные этим дугам), \(\buildrel\smile\over{AD}=\buildrel\smile\over{DB}=2x\) (т.к. на них опираются вписанные углы \(ACD\) и \(BCD\), равные половинам этих дуг).


 

Т.к. вся окружность равна \(360^\circ\), то \(x+x+2x+2x=360^\circ \quad \Rightarrow \quad x=60^\circ\).

 

Угол \(ADC\) – вписанный и опирающийся на дугу \(\buildrel\smile\over{AC}\), следовательно, он равен ее половине, то есть \(30^\circ\).

Ответ: 30

Задание 17 #5980

Сторона \(AB\) тупоугольного треугольника \(ABC\) равна радиусу описанной около него окружности. Найдите тупой угол \(C\). Ответ дайте в градусах.



\(\triangle AOB\) равносторонний, следовательно, \(\angle AOB=\buildrel\smile\over{AB}=60^\circ\). Тогда большая дуга \(AB\) равна \(360^\circ-60^\circ=300^\circ\). Угол \(ACB\) – вписанный угол, опирающийся на большую дугу \(AB\), следовательно, равен ее половине: \(\angle ACB=\frac12\cdot 300^\circ=150^\circ.\)

Ответ: 150

Задание 18 #5981

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на окружности с центром в точке \(O\) (так, что \(ABCD\) – четырёхугольник). Длина дуги \(AD\) (которая меньше полуокружности) составляет \(0,8\) длины дуги \(AB\) (которая меньше полуокружности). Найдите, во сколько раз \(\angle AOB\) больше, чем \(\angle DCA\).


 

Градусные меры дуг окружности относятся как их длины, тогда градусная мера дуги \(AB\) в \(1: 0,8 = 1,25\) раз больше, чем градусная мера дуги \(AD\).
Градусной мерой дуги называется градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда \[\dfrac{\angle AOB}{\angle DCA} = \dfrac{\smile AB}{0,5 \smile AD} = 2 \cdot \dfrac{\smile AB}{\smile AD} = 2,5.\]

Ответ: 2,5

Задание 19 #5982

\(AB\) – диаметр окружности, который пересекает хорду \(CD\) в точке \(E\). Градусная мера дуги \(AC\) равна \(90^{\circ}\), а градусная мера дуги \(CBD\) равна \(150^{\circ}\). Найдите \(\angle CEA\). Ответ дайте в градусах.

Построим диаметр \(CF\). Пусть \(O\) – центр окружности, тогда \(\angle COA = 90^{\circ}\).



\(\angle CEA = 90^{\circ} - \angle DCF\).

Так как градусная мера дуги \(CBD\) равна \(150^{\circ}\), а \(CF\) – диаметр, то градусная мера дуги \(DF\) равна \(180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\).

Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда \(\angle DCF = 0,5\cdot 30^{\circ} = 15^{\circ}\), следовательно, \(\angle CEA = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}\).

Ответ: 75

Задание 20 #5983

Хорды окружности \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\), причём \(CE = AE\). Градусная мера дуги \(AC\) равна \(120^{\circ}\), градусная мера дуги \(CAD\) равна \(210^{\circ}\). Найдите градусную меру дуги \(BD\). Ответ дайте в градусах.

Градусная мера дуги \(DA\) равна \(210^{\circ} - 120^{\circ} = 90^{\circ}\).
Соединим \(CA\).



Треугольник \(AEC\) – равнобедренный, тогда \(\angle DCA = \angle BAC\), тогда дуги, на которые опираются эти вписанные углы, равны, следовательно градусная мера дуги \(BC\) равна \(90^{\circ}\).

Градусная мера дуги \(BD\) равна \(360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}\).

Ответ: 60

Задание 21 #5984

Хорда \(CD\) перпендикулярна диаметру \(AB\). Найдите разность градусных мер дуг \(AC\) и \(AD\) (тех, которые меньше полуокружности). Ответ дайте в градусах.

Построим отрезки \(CA\), \(AD\) и \(CB\), точку пересечения \(CD\) и \(AB\) обозначим \(E\).



\(\angle BCD = \angle BAD\) как вписанные, опирающиеся на общую дугу. Так как \(AB\) – диаметр, то \(\angle BCA = 90^{\circ}\).

Тогда \(\angle BCD\) дополняет \(\angle DCA\) до \(90^{\circ}\), а \(\angle BAD\) дополняет \(\angle CDA\) до \(90^{\circ}\) и из равенства \(\angle BCD = \angle BAD\) вытекает \(\angle DCA = \angle CDA\), следовательно, дуги \(AC\) и \(AD\) равны.

Ответ: 0