Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вписанная окружность (страница 4)

Задание 22 #6041

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(2+\sqrt2\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Известно, что для любого треугольника \(S_{\triangle}=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае \(S_{\triangle}=0,5\cdot (2+\sqrt2)(2+\sqrt2)\). Гипотенуза по теореме Пифагора равна \(\sqrt2(2+\sqrt2)\), следовательно, \[r=\dfrac Sp=\dfrac{0,5 (2+\sqrt2)^2}{0,5 (2+\sqrt2+2+\sqrt2+\sqrt2(2+\sqrt2))} = 1\]

Ответ: 1

Задание 23 #6042

В треугольнике \(ABC\) \(AC=4, BC=3\), угол \(C\) равен \(90^\circ\). Найдите радиус вписанной окружности.

Известно, что для любого треугольника \(S_{\triangle}=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае \(S_{\triangle}=0,5\cdot 3\cdot 4=6\). Гипотенуза по теореме Пифагора равна \(\sqrt{3^2+4^2}=5\), следовательно, \[r=\dfrac Sp=\dfrac{6}{0,5(3+4+5)} = 1\]

Ответ: 1

Задание 24 #6043

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны \(5\), основание равно \(6\). Найдите радиус вписанной окружности.

Известно, что для любого треугольника \(S_{\triangle}=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае по формуле Герона (полупериметр \(p=8\)) \(S_{\triangle}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=4\cdot 3=12\). Следовательно, \[r=\dfrac Sp=\dfrac{12}{0,5(5+5+6)} = 1,5\]

Ответ: 1,5

Задание 25 #6044

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 3,5\), \(AD = 4\), \(BC = 6,5\). Найдите длину \(CD\).



Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
\(AB + CD = AD + BC\), откуда получаем \(3,5 + CD = 4 + 6,5\), значит, \(CD = 7\).

Ответ: 7

Задание 26 #6045

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AB = 5\), \(BC = 6\), \(CD = 8\), \(AD = 7\), точка \(O\) лежит на биссектрисах углов \(A\) и \(B\). Найдите разность расстояний от точки \(O\) до \(BC\) и от точки \(O\) до \(CD\).

Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность, следовательно, в \(ABCD\) можно вписать окружность.



Так как в описанном четырёхугольнике биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке – центре вписанной в него окружности, то \(O\) – центр вписанной в \(ABCD\) окружности, следовательно, расстояния от точки \(O\) до \(BC\) и от точки \(O\) до \(CD\) равны и их разность равна \(0\).

Ответ: 0