Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8 #6152

Найдите площадь треугольника со сторонами \(6\), \(5\) и \(\sqrt{13}\).

Применим формулу Герона для поиска площади треугольника:  

\(S=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-\sqrt{13}\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-5\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-6\right)}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+5-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+\sqrt{13}-5}2\cdot \dfrac{5+\sqrt{13}-6}2}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{11-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}+1}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}-1}2}=\dfrac14\cdot \sqrt{\left(11^2-(\sqrt{13})^2\right)\cdot \left((\sqrt{13})^2-1^2\right)}=\)  

\(=\dfrac14\cdot \sqrt{(121-13)(13-1)}=\dfrac14\cdot \sqrt{(4\cdot 3\cdot 9)\cdot (4\cdot 3)}=\dfrac14\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2=9\).

Ответ: 9

Задание 9 #6153

Найдите площадь треугольника со сторонами \(22\), \(\sqrt{197}\) и \(\sqrt{65}\).

Рассмотрим этот треугольник. Проведем высоту к стороне, равной \(22\):


 

Обозначим эту высоту за \(h\), а отрезки, на которые она разбила сторону, за \(x\) и \(22-x\). Запишем теорему Пифагора для двух получившихся прямоугольных треугольников:

 

\(\begin{cases} 197=h^2+(22-x)^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 197-65=(22-x)^2-x^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 132=(22-x-x)(22-x+x)\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=8\\ h=1 \end{cases}\)  

Таким образом, площадь этого треугольника равна

\[S=\dfrac12\cdot 1\cdot 22=11\]

Ответ: 11

Задание 10 #6154

Найдите квадрат площади треугольника со сторонами \(7\), \(11\) и \(6\sqrt6\).

По формуле Герона квадрат площади треугольника равен

 

\(S^2=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-6\sqrt6\right)\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-7\right) \cdot \left( \dfrac{7+11+6\sqrt6}2-11\right)=\)  

\(=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \dfrac{7+11-6\sqrt6}2\cdot \dfrac{11+6\sqrt6-7}2\cdot \dfrac{7+6\sqrt6-11}2=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot (18+6\sqrt6)(18-6\sqrt6)(6\sqrt6+4)(6\sqrt6-4)=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot 6^2\cdot (3+\sqrt6)(3-\sqrt6)\cdot ((6\sqrt6)^2-4^2)=\dfrac{6^2\cdot 3\cdot 200}{16}=1350\).

Ответ: 1350

Задание 11 #6155

Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной \(8\), если высота, проведенная к стороне длиной \(6\), равна \(4\).

Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна \[S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4,\]

а с другой \[S=\dfrac12\cdot 8\cdot h,\]

где \(h\) – высота, которую нужно найти. Таким образом, получаем следующее равенство:

\[\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac12\cdot 8\cdot h \quad \Leftrightarrow \quad h=3.\]

Ответ: 3

Задание 12 #6156

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(\sqrt[4]3\), а один из углов равен \(30^\circ\). Найдите площадь этого треугольника.


 

Т.к. катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AC=0,5\cdot AB=0,5\cdot \sqrt[4]3\).

 

Т.к. \(\angle A=90^\circ -\angle B=60^\circ\), то площадь равна \[S=\dfrac12\cdot AC\cdot AB\cdot \sin 60^\circ=\dfrac12\cdot 0,5\cdot \sqrt[4]3\cdot \sqrt[4]3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=\dfrac38=0,375.\]

Ответ: 0,375

Задание 13 #6157

Катеты прямоугольного треугольника относятся как \(5:4\), а площадь равна \(4,1\). Найдите гипотенузу этого треугольника.

Т.к. катеты относятся как \(5:4\), то их можно обозначить за \(4x\) и \(5x\). Тогда необходимо найти гипотенузу, по теореме Пифагора равную \(\sqrt{25x^2+16x^2}=\sqrt{41x^2}\).

 

Т.к. площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то \(S=0,5\cdot 5x\cdot 4x=10x^2=4,1\). Следовательно, \(x^2=0,41\).

 

Значит, гипотенуза равна \[\sqrt{41\cdot 0,41}=\sqrt{41\cdot 41\cdot 0,01}=41\cdot 0,1=4,1.\]

Ответ: 4,1

Задание 14 #6158

Дан треугольник \(ABC\). На сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены точки \(A'\) и \(C'\) соответственно. Известно, что \(BC'=0,5BC=4\), \(AB=14\), \(S_{ABC}=7S_{A'BC'}\). Найдите \(A'B\).


 

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC}=0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B\).

 

Площадь треугольника \(A'BC'\) равна \(S_{A'BC'}=0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B\).

 

Таким образом, имеем равенство:

\[0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B=7\cdot 0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B \quad \Leftrightarrow \quad A'B=4.\]

Ответ: 4