Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15 #6159

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CM\) – медиана, \(AC = 4\), \(CM = 2,5\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AB = 2,5 \cdot 2 = 5\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + CB^2\), откуда находим \(CB = 3\). Периметр треугольника \(ABC\) равен \(3 + 4 + 5 = 12\).

Ответ: 12

Задание 16 #6160

Точка \(D\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\). Периметр треугольника \(ABD\) равен \(10\), периметр треугольника \(BDC\) равен \(7\), \(BD = 3\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(AB + AC + BC\).

Периметр треугольника \(BDC\) равен \(BD + DC + BC = 7\), а \(BD = 3\), тогда \(DC + BC = 4\),

периметр треугольника \(ABD\) равен \(AB + BD + AD = 10\), тогда \(AB + AD = 7\).

\(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11\).

Ответ: 11

Задание 17 #6161

В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – высота, \(AD = 1\), \(DC = 3\), \(\angle DBC = 45^{\circ}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

\(\angle BCD = 90^{\circ} - \angle DBC = 45^{\circ} = \angle DBC\), тогда \(BD = DC = 3\). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5 \cdot (3 + 1) \cdot 3 = 6\).

Ответ: 6

Задание 18 #6162

В треугольнике \(ABC\): \(AF\) и \(BD\) – высоты, \(AF = 4\), \(BD = 3\), \(AC = 6\). Найдите \(BC\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot BC \cdot AF\), откуда \(9 = 0,5 \cdot BC \cdot 4\), значит, \(BC = 4,5\).

Ответ: 4,5

Задание 19 #6163

В треугольнике \(ABC\): \(CD\) – высота, \(CD = \sqrt{12}\), \(AB = \pi\sqrt{3}\), \(AC = 2\pi\). Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой, содержащей отрезок \(AC\).

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за \(h\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AB \cdot CD = 0,5 \cdot AC \cdot h\), откуда \(0,5\cdot \pi\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = 0,5 \cdot 2\pi \cdot h\), значит, \(h = 3\).

Ответ: 3

Задание 20 #6164

В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – медиана. Площадь треугольника \(ABD\) равна \(1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника \(BDC\) равна площади треугольника \(ABD\) и равна \(1\). Тогда площадь треугольника \(ABC\), равная сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(BDC\), равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABD\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, проведённая из \(B\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(BDC\) равна \(0,5 \cdot CD \cdot h\), но \(CD = AD\), тогда \(0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot CD \cdot h\) и, значит, площади треугольников \(ABD\) и \(BDC\) равны.

Ответ: 2

Задание 21 #6165

В треугольнике \(ABC\): точка \(D\) лежит на \(AC\), причём \(\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(7,5\). Найдите площадь треугольника \(BCD\).

Построим высоту \(BK\)


Площадь треугольника \(ABD\) может быть найдена по формуле: \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK\).
Аналогично \(S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK\), откуда можно сделать вывод:
\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}\), тогда \(S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} = \dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25\).

 

Ответ: 11,25