Найдите площадь квадрата \(ABCD\), если \(AC = 10\).
\(AD = CD\); по теореме Пифагора находим: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2\cdot AD^2\), тогда \(AD^2 = 50\), но площадь квадрата \(ABCD\) и равна \(AD^2\).
Ответ: 50
18. Площади геометрических фигур
Найдите площадь квадрата \(ABCD\), если \(AC = 10\).
\(AD = CD\); по теореме Пифагора находим: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2\cdot AD^2\), тогда \(AD^2 = 50\), но площадь квадрата \(ABCD\) и равна \(AD^2\).
Ответ: 50
Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\) прямоугольника \(ABCD\). Площадь треугольника \(AED\) равна 3. Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, тогда площадь треугольника \(AED\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, опущенная из точки \(E\) на \(AD\). Пусть эта высота пересекает \(AD\) в точке \(F\), тогда \(FECD\) – параллелограмм (\(EF \parallel CD, \ EC \parallel FD\)), значит, \(h = CD\) и площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(AD \cdot h\), то есть она в два раза больше, чем площадь треугольника \(AED\) и, следовательно, равна 6.
Ответ: 6
Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\). Высота, опущенная на первую сторону, равна \(10\). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\), с другой стороны, \(S=15\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]
Ответ: 6
Периметр прямоугольника \(ABCD\) равен \(26\), а его площадь равна \(40\). Найдите разность большей и меньшей сторон этого прямоугольника.
Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.
Обозначим длину прямоугольника за \(a\), а его ширину за \(b\), тогда \(a\cdot b = 40\), \(a + b + a + b = 2(a + b) = 26\), откуда \(b = 13 - a\) и, значит, \(a \cdot (13 - a) = 40\), что равносильно \(a^2 - 13a + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2\), корни \(a_1 = 0,5(13 + 3) = 8, \ a_2 = 0,5(13 - 3) = 5\). При \(a = 5\) получаем \(b = 8\), но \(a \geq b\), тогда \(a = 8, \ b = 5\) и разность большей и меньшей сторон равна \(8 - 5 = 3\).
Ответ: 3
В параллелограмме \(ABCD\): \(BE\) – высота, \(BE = ED = 5\). Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 35. Найдите длину \(AE\).
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда \(35 = BE \cdot AD = 5\cdot(5 + AE)\), откуда находим \(AE = 2\).
Ответ: 2
Площадь ромба равна \(6\). Одна из его диагоналей в три раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Пусть меньшая диагональ равна \(d\), тогда большая равна \(3d\). Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[6=S=0,5\cdot d\cdot 3d\quad\Rightarrow\quad d=2\]
Ответ: 2
Площадь ромба равна \(18\). Одна из его диагоналей равна \(12\). Найдите другую диагональ.
Пусть \(d\) – диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[18=S=0,5\cdot d\cdot 12\quad\Rightarrow\quad d=3\]
Ответ: 3