Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата (страница 2)

Задание 8 #6118

В параллелограмме \(ABCD\): \(BE\) – высота, \(BE = ED = 5\). Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 35. Найдите длину \(AE\).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда \(35 = BE \cdot AD = 5\cdot(5 + AE)\), откуда находим \(AE = 2\).

Ответ: 2

Задание 9 #6119

Периметр прямоугольника \(ABCD\) равен \(26\), а его площадь равна \(40\). Найдите разность большей и меньшей сторон этого прямоугольника.

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.

Обозначим длину прямоугольника за \(a\), а его ширину за \(b\), тогда \(a\cdot b = 40\), \(a + b + a + b = 2(a + b) = 26\), откуда \(b = 13 - a\) и, значит, \(a \cdot (13 - a) = 40\), что равносильно \(a^2 - 13a + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2\), корни \(a_1 = 0,5(13 + 3) = 8, \ a_2 = 0,5(13 - 3) = 5\). При \(a = 5\) получаем \(b = 8\), но \(a \geq b\), тогда \(a = 8, \ b = 5\) и разность большей и меньшей сторон равна \(8 - 5 = 3\).

Ответ: 3

Задание 10 #6120

В прямоугольнике \(ABCD\): \(AB = \dfrac{2}{5}BC\), периметр \(ABCD\) равен \(42\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны, тогда \(2\cdot AB + 2\cdot BC = 42\), что при \(AB = \dfrac{2}{5}BC\) равносильно \(\dfrac{4}{5}BC + 2\cdot BC = 42\), откуда находим \(BC = 15\), значит, \(AB = 6\).

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум катетам, тогда их площади равны, следовательно, площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади \(ABCD\) и равна \(0,5\cdot 6\cdot 15 = 45\).

Ответ: 45

Задание 11 #6121

Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\) прямоугольника \(ABCD\). Площадь треугольника \(AED\) равна 3. Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, тогда площадь треугольника \(AED\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, опущенная из точки \(E\) на \(AD\). Пусть эта высота пересекает \(AD\) в точке \(F\), тогда \(FECD\) – параллелограмм (\(EF \parallel CD, \ EC \parallel FD\)), значит, \(h = CD\) и площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(AD \cdot h\), то есть она в два раза больше, чем площадь треугольника \(AED\) и, следовательно, равна 6.

Ответ: 6

Задание 12 #6122

Найдите площадь квадрата \(ABCD\), если \(AC = 10\).

\(AD = CD\); по теореме Пифагора находим: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2\cdot AD^2\), тогда \(AD^2 = 50\), но площадь квадрата \(ABCD\) и равна \(AD^2\).

Ответ: 50

Задание 13 #6123

В квадрате \(ABCD\) расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно \(5\). Найдите площадь этого квадрата.

Пусть \(E\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\).

В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда \(AE = ED \ \Rightarrow \triangle ADE \) — равнобедренный.

Опустим из точки \(E\) высоту \(EF\) на \(AD\) (длина \(EF\) и есть расстояние от точки \(E\) до стороны). Так как \(\triangle ADE \) — равнобедренный, то \(EF\) является и медианой, но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(EF = 0,5\cdot AD\).

Тогда \(AD = 10\), следовательно, площадь квадрата \(ABCD\) равна \(100\).

Ответ: 100

Задание 14 #6124

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.


 

Площадь прямоугольника равна \(S_1=ab\), площадь параллелограмма равна \(S_2=ab\cdot \sin\alpha\). Из условия следует, что \(2S_2=S_1\). Следовательно: \[2ab\cdot \sin\alpha=ab\quad\Rightarrow\quad \sin\alpha=\dfrac12\quad\Rightarrow \quad \alpha=30^\circ\]

Ответ: 30