Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата (страница 3)

Задание 15 #6125

В трапеции боковые стороны равны \(12\) и \(12\sqrt5\), угол при меньшей боковой стороне равен \(135^\circ\). Найдите отношение меньшего основания к большему, если площадь трапеции равна \(156\).
Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB=12, CD=12\sqrt5\), \(\angle A=45^\circ, \angle B=135^\circ\), и проведем в ней высоты \(BH\) и \(CK\). При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.

 

1 способ.


 

Заметим, что \(\triangle ABH\) – прямоугольный и равнобедренный, тогда \[BH=AH=\dfrac{AB}{\sqrt2}=\dfrac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\]

Значит, из прямоугольного \(\triangle DCK\) можно найти \(KD\):

\[KD^2=CD^2-CK^2=(12\sqrt5)^2-(6\sqrt2)^2=648 \quad \Rightarrow \quad KD=\sqrt{9\cdot 9\cdot 4 \cdot 2}=18\sqrt2\]

Т.к. площадь трапеции равна \(156\), то имеем следующее уравнение:

\[\dfrac{6\sqrt2+18\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2=156 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt2\]

Тогда \(BC:AD=(\sqrt2):(25\sqrt2)=1:25\).

 

2 способ.


 

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим \(CK=DK=BH=6\sqrt2\), \(AH=18\sqrt2\), \(AD=18\sqrt2+x-6\sqrt2=12\sqrt2+x\).

 

Из уравнения \(156=\dfrac{12\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2\) находим \(x=7\sqrt2\).

 

Значит, \(BC:AD=(7\sqrt2):(19\sqrt2)=7:19\).

 

Т.к. \(\frac1{25}<\frac7{19}\), то в ответ пойдет \(\frac1{25}=0,04\).

Ответ: 0,04

Задание 16 #6126

Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(50\). Найдите площадь выпуклого четырехугольника \(A'B'C'D'\), вершины которого – середины сторон параллелограмма \(ABCD\).



Рассмотрим рисунок. Проведем диагонали \(AC\) и \(BD\). Так как \(A', B'\) – середины \(AB\) и \(BC\), то \(A'B'\) – средняя линия \(\triangle ABC\). Следовательно, \(A'B'=0,5AC\). Аналогично \(C'D'=0,5AC\), \(A'D'=B'C'=0,5BD\). Следовательно, \(A'B'C'D'\) – параллелограмм по признаку.
Так как площадь параллелограмма равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними, то \[S_{ABCD}=0,5\cdot AC\cdot BD\cdot \sin\angle AOB\] Так как площадь параллелограмма также можно искать как произведение смежных сторон на синус угла между ними, то \[S_{A'B'C'D'}=A'D'\cdot A'B'\cdot \sin \angle B'A'D'\] Заметим, что \(\angle AOB=\angle B'A'D'\) как углы с попарно параллельными сторонами. Следовательно, \[S_{A'B'C'D'}=0,5BD\cdot 0,5AC\cdot \sin\angle AOB=0,5S_{ABCD}= 0,5\cdot 50=25\]

Ответ: 25

Задание 17 #6127

В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 6\), \(BC = 5\), \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 3,24\). Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\).


 

В параллелограмме противоположные углы равны, а односторонние углы в сумме составляют \(180^{\circ}\).

Так как \(\sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha}\), то \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 4 \sin{\angle A}\), откуда находим \(\sin{\angle A} = 0,81\).

Площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними, тогда \[S_{ABCD} = 6\cdot 5\cdot 0,81 = 24,3.\]

Ответ: 24,3

Задание 18 #6128

В ромбе \(ABCD\): \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(BD = 8\), \(\mathrm{tg}\, \angle BDC = 3\). Найдите площадь ромба \(ABCD\).


 

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, тогда \(OD = 4\), \(\dfrac{CO}{OD} = \mathrm{tg}\, \angle BDC = 3\), откуда \(CO = 12\), следовательно, \(AC = 24\).

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, тогда \[S_{ABCD} = 0,5\cdot 8\cdot 24 = 96.\]

Ответ: 96