Площадь треугольника (страница 2)

По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\), \(p = 4,5\),
тогда \(S_{\triangle ABC}^2 = p(p - AB)(p - BC)(p - AC)\), тогда \(\dfrac{S_{\triangle ABC}^2}{p(p - AB)} = (p - BC)(p - AC) = p^2 - p(AC + BC) + AC\cdot BC\), откуда

\(\dfrac{\frac{135}{16}}{4,5\cdot 2,5} = \dfrac{81}{4} - \dfrac{9}{2}(AC + BC) + 12\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{135}{16} \cdot\dfrac{4}{45} = \dfrac{81}{4} - \dfrac{9}{2}(AC + BC) + 12\qquad\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\qquad \dfrac{39}{2} = \dfrac{9}{2}(AC + BC) - 12 \qquad\Rightarrow\qquad AC + BC = 7.\)

Ответ: 7

Т.к. \(PQ\) – средняя линия \(\triangle ABC\), то \(2PQ=BC\). Периметр \(\triangle ABC\): \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]

Ответ: 42

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(CA = CB=10\sqrt3\), следовательно, \(S_{ABC} = 0,5\cdot CB\cdot AH = 90\quad\Rightarrow\quad AH = 6\sqrt{3}\).
Из треугольника \(HCA\) по теореме Пифагора имеем: \(CH = \sqrt{CA^2 - AH^2} = 8\sqrt{3}.\)
Так как \(CP\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведенная к основанию \(AB\), то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из \(\triangle HCA\): \[\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{DA}{CA} \quad\Rightarrow \quad \dfrac{DH}{8\sqrt{3}} =\dfrac{(6\sqrt{3} - DH)}{10\sqrt{3}}\quad\Rightarrow \quad DH = \dfrac{8\sqrt{3}}3\] Следовательно, так как \(\triangle CDH\) прямоугольный, то \(S_{CDH} = 0,5\cdot CH\cdot DH = 32.\)

Ответ: 32

Медиана \(DB\) делит \(KA\) пополам \(\Rightarrow KB = 5\). Так как известны все стороны треугольника \(KDB\), найдем его площадь по формуле Герона: \[S_{KDB} = \sqrt{6\cdot(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)}=6.\] Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть \(S_{KDB}=S_{ADB}\), следовательно,

\[S_{KDA} = 2\cdot S_{KDB} = 12.\]

Ответ: 12

По свойству биссектрисы: \[\dfrac{TC}{BC} = \dfrac{AT}{AB}\] Пусть \(BC = x, AB = y\), тогда: \[\dfrac{12}x = \dfrac{15}y\Rightarrow x = 0,8\cdot y.\] Из треугольника \(ABC\) имеем по теореме Пифагора: \(x^2+27^2 = y^2\Rightarrow 0,64\cdot y^2 + 27^2 = y^2\Rightarrow y = 45, x = 36.\) \[S_{ABT} = 0,5\cdot AT\cdot BC = 0,5\cdot 15\cdot 36 = 270.\]

Ответ: 270

Так как \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\), то \(AC\) – высота тупоугольного треугольника \(ABD\), опущенная из вершины \(B\) на продолжение стороны \(BD\). Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то \[S_{ABD}=\dfrac12\cdot BD\cdot AC=\dfrac12\cdot 4\cdot 5=10\]

Ответ: 10

\[S_{ABC} = 0,5\cdot AH\cdot CB = 20\quad\Rightarrow \quad CB =5\sqrt{2}.\] Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB=CB=5\sqrt2\).
Из треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора:

\[HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = 3\sqrt{2}.\] Так как \(BD\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведенная к основанию, то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из \(\triangle ABH\):

\[\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{AH-HL}{AB}\quad \Rightarrow\quad HL = 1,5\sqrt{2}.\] Следовательно, \(S_{BLH} = 0,5\cdot HL\cdot HB = 4,5.\)

Ответ: 4,5