18. Площади геометрических фигур
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CM\) – медиана, \(AC = 4\), \(CM = 2,5\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AB = 2,5 \cdot 2 = 5\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + CB^2\), откуда находим \(CB = 3\). Периметр треугольника \(ABC\) равен \(3 + 4 + 5 = 12\).
Ответ: 12
Точка \(D\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\). Периметр треугольника \(ABD\) равен \(10\), периметр треугольника \(BDC\) равен \(7\), \(BD = 3\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).
Периметр треугольника \(ABC\) равен \(AB + AC + BC\).
Периметр треугольника \(BDC\) равен \(BD + DC + BC = 7\), а \(BD = 3\), тогда \(DC + BC = 4\),
периметр треугольника \(ABD\) равен \(AB + BD + AD = 10\), тогда \(AB + AD = 7\).
\(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11\).
Ответ: 11
В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – высота, \(AD = 1\), \(DC = 3\), \(\angle DBC = 45^{\circ}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
\(\angle BCD = 90^{\circ} - \angle DBC = 45^{\circ} = \angle DBC\), тогда \(BD = DC = 3\). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5 \cdot (3 + 1) \cdot 3 = 6\).
Ответ: 6
В треугольнике \(ABC\): \(AF\) и \(BD\) – высоты, \(AF = 4\), \(BD = 3\), \(AC = 6\). Найдите \(BC\).
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot BC \cdot AF\), откуда \(9 = 0,5 \cdot BC \cdot 4\), значит, \(BC = 4,5\).
Ответ: 4,5
В треугольнике \(ABC\): \(CD\) – высота, \(CD = \sqrt{12}\), \(AB = \pi\sqrt{3}\), \(AC = 2\pi\). Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой, содержащей отрезок \(AC\).
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за \(h\).
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AB \cdot CD = 0,5 \cdot AC \cdot h\), откуда \(0,5\cdot \pi\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = 0,5 \cdot 2\pi \cdot h\), значит, \(h = 3\).
Ответ: 3
В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – медиана. Площадь треугольника \(ABD\) равна \(1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника \(BDC\) равна площади треугольника \(ABD\) и равна \(1\). Тогда площадь треугольника \(ABC\), равная сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(BDC\), равна 2.
Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:
площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABD\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, проведённая из \(B\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(BDC\) равна \(0,5 \cdot CD \cdot h\), но \(CD = AD\), тогда \(0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot CD \cdot h\) и, значит, площади треугольников \(ABD\) и \(BDC\) равны.
Ответ: 2
В треугольнике \(ABC\): точка \(D\) лежит на \(AC\), причём \(\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(7,5\). Найдите площадь треугольника \(BCD\).
Построим высоту \(BK\)
Площадь треугольника \(ABD\) может быть найдена по формуле: \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK\).
Аналогично \(S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK\), откуда можно сделать вывод:
\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} =
\dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}\), тогда \(S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} =
\dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25\).
Ответ: 11,25
