Площадь треугольника (страница 5)

Треугольники \(ABC\) и \(HBC\) имеют общий угол \(B\), следовательно:

\[\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}} = \dfrac{HB\cdot BC}{AB\cdot BC} = \dfrac{HB}{AB}.\]

Пусть \(HB = 2x\), \(AH = 3x\), учитывая то, что \(AB = HB + AH\), получаем:

\[\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{2x}{2x+3x} = \dfrac{2}5 \quad\Rightarrow \quad S_{HBC} = S_{ABC} \cdot \dfrac{2}5 = 6.\]

Ответ: 6

Биссектриса делит треугольник \(ABC\) на два треугольника, имеющие по равному углу, следовательно, их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы:

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \dfrac{AB\cdot BD}{BC\cdot BD} = \dfrac{AB}{BC}\quad (*)\] Площадь треугольника \(BDC\) равна

\[S_{DBC} = \dfrac{1}2\cdot DH\cdot BC = \dfrac{1}2\cdot 3\cdot 6 = 9.\] Найдем площадь треугольника \(ABD\) из отношения \((*)\):

\[S_{ABD} = \dfrac{4}6\cdot S_{DBC} = \dfrac{4}6\cdot 9 = 6.\] Сложим площади треугольников \(ABD\) и \(DBC\) и получим площадь искомого треугольника \(ABC\):

\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC} = 6 + 9 =15.\]

Ответ: 15

Т.к. \(\angle BAD = \angle DAC\), то площади треугольников \(ABD\) и \(ADC\) относятся друг к другу как произведения сторон, образующих равные углы:

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{AB\cdot AD}{AC\cdot AD} = \dfrac{AB}{AC}\]

\[S_{ADC} = \dfrac{1}2 \cdot AC\cdot CD \quad\Rightarrow\quad S_{ABD} = \dfrac{AB}{AC}\cdot \dfrac{1}2\cdot AC\cdot CD = \dfrac{1}2 \cdot AB\cdot CD= 9.\]

Ответ: 9

Так как \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\), то \(AC\) – высота тупоугольного треугольника \(ABD\), опущенная из вершины \(B\) на продолжение стороны \(BD\). Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то \[S_{ABD}=\dfrac12\cdot BD\cdot AC=\dfrac12\cdot 4\cdot 5=10\]

Ответ: 10

Медиана \(DB\) делит \(KA\) пополам \(\Rightarrow KB = 5\). Так как известны все стороны треугольника \(KDB\), найдем его площадь по формуле Герона: \[S_{KDB} = \sqrt{6\cdot(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)}=6.\] Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть \(S_{KDB}=S_{ADB}\), следовательно,

\[S_{KDA} = 2\cdot S_{KDB} = 12.\]

Ответ: 12

По свойству биссектрисы: \[\dfrac{TC}{BC} = \dfrac{AT}{AB}\] Пусть \(BC = x, AB = y\), тогда: \[\dfrac{12}x = \dfrac{15}y\Rightarrow x = 0,8\cdot y.\] Из треугольника \(ABC\) имеем по теореме Пифагора: \(x^2+27^2 = y^2\Rightarrow 0,64\cdot y^2 + 27^2 = y^2\Rightarrow y = 45, x = 36.\) \[S_{ABT} = 0,5\cdot AT\cdot BC = 0,5\cdot 15\cdot 36 = 270.\]

Ответ: 270

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(CA = CB=10\sqrt3\), следовательно, \(S_{ABC} = 0,5\cdot CB\cdot AH = 90\quad\Rightarrow\quad AH = 6\sqrt{3}\).
Из треугольника \(HCA\) по теореме Пифагора имеем: \(CH = \sqrt{CA^2 - AH^2} = 8\sqrt{3}.\)
Так как \(CP\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведенная к основанию \(AB\), то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из \(\triangle HCA\): \[\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{DA}{CA} \quad\Rightarrow \quad \dfrac{DH}{8\sqrt{3}} =\dfrac{(6\sqrt{3} - DH)}{10\sqrt{3}}\quad\Rightarrow \quad DH = \dfrac{8\sqrt{3}}3\] Следовательно, так как \(\triangle CDH\) прямоугольный, то \(S_{CDH} = 0,5\cdot CH\cdot DH = 32.\)

Ответ: 32