Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы \(m_1\) кг и \(m_2\) кг, находящимися на расстоянии \(R\) метров, может быть найдена по формуле \[F = G\dfrac{m_1m_2}{R^2},\] где \(G\) – гравитационная постоянная. Во сколько раз должно увеличиться расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась в 25 раз?
Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_1\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_1\) м, конечное расстояние (после уменьшения силы гравитационного притяжения в 25 раз) между ними равно \(R_2\), тогда в конечном состоянии сила гравитационного притяжения станет \[\dfrac{1}{25}F_1.\]
Для начальных параметров известно, что \[F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] а для конечных параметров известно, что \[\dfrac{1}{25}F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2}.\] Умножая второе уравнение на \(25\), получим \[F_1 = 25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2},\] откуда \[25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2} = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] откуда \({R_2}^2 = 25{R_1}^2\), что равносильно \(R_2 = \pm 5R_1\), но \(R_1 > 0, R_2 > 0\), тогда \(R_2 = 5R_1\).
Ответ: 5