Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Решение простейших уравнений и систем уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Квадратные уравнения (страница 2)

Задание 8 #8387

Решите уравнение \(\sqrt{x - 2} = x - 4\). Если уравнение имеет несколько корней, укажите наибольший из них.

Прежде всего, нужно записать ОДЗ для отсеивания возможных недопустимых для уравнения корней: \[\begin{cases} x - 2 \geqslant 0;\\ x - 4 \geqslant 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x \geqslant 0.\]

Далее решаем уравнение путём возведения в степень для того, чтобы избавиться от знака квадратного корня, а далее решить как квадратное уравнение: \[\begin{aligned} \sqrt{x - 2} &= x - 4 \\ x - 2 &= x^2 - 8x + 16\\ x^2 - 9x + 18 &= 0\\ D = 9^2 - 4\cdot 18 &= 9 \cdot(9 - 4\cdot 2) = 9 = 3^2;\\ x_1 = \dfrac{9 + 3}{2} = 6;& \qquad x_2 = \dfrac{9 - 3}{2} = 3.\end{aligned}\]

Однако, из этих двух корней только \(x_1\) удовлетворяет условиям, накладываемыми ОДЗ.

Ответ: 6

Задание 9 #8386

Решите уравнение \((x^2 - 25)^2 + (x^2 - 14x + 45)^2 = 0\).

Левая часть уравнения является суммой двух квадратов. Квадрат — неотрицательный, а значит, сумма двух квадратов может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом, мы переходим к системе уравнений: \[\begin{cases} (x^2 - 25)^2 = 0; \\ (x^2 - 14x + 45)^2 = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2 - 5^2 = 0; \\ x^2 - 14x + 45 = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x - 5)(x + 5) = 0; \\ (x - 5)(x - 9) = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad\] \[\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} x = 5;\\x = - 5; \end{gathered}\right. \\\\ \left[\begin{gathered} x = 5;\\x = 9. \end{gathered}\right. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x = 5.\]

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю, поэтому в первом переходе в каждом уравнении можно избавиться от степени в левой части. Во втором переходе в первом уравнении была использована формула разности квадратов, а во второй — теорема Виета.

Ответ: 5

Задание 10 #4768

Найдите отрицательный корень уравнения \((3-x)(3x+4)=4\).

Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки: \[9x+12-3x^2-4x=4\quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-5x-8=0\]

1 способ.
Дискриминант \(D=25+4\cdot 3\cdot 8=121=11^2\), следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{5+11}{2\cdot 3}=\dfrac83 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{5-11}{2\cdot 3}=-1.\] Следовательно, отрицательный корень – это \(x=-1\).

 

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: \(3+(-8)=-5\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(-5\), следовательно, один из корней \(x_1=-1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-\frac83\)) равен \(x_2=\frac83\).

Ответ: -1

Задание 11 #4767

Найдите корень уравнения \((2x + 3)^2 = 4x^2 + 9\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 9\), что равносильно \(12x = 0\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 12 #4755

Найдите больший корень уравнения \(x^2-x-40200=0\).

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.
Дискриминант \(D=1+4\cdot 40200=160\,801\). Найдем, квадрат какого числа равен \(160\,801\). Заметим, что \(400^2=160\,000\), следовательно, \(\sqrt{160\,801}\) чуть больше, чем \(400\). Подбором убеждаемся, что \(401^2=160\,801\). Следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{1+401}{2}=201 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{1-401}{2}=-200.\] Следовательно, больший корень – это \(x=201\).

 

2 способ.
Найдем корни по теореме Виета. Заметим, что их произведение равно \(-40200\), то есть отрицательно. Следовательно, они разных знаков, например \(a\) и \(-b\) (где \(a, b>0\)). Заметим, что их сумма равна \(1\), следовательно, \(a-b=1\). Попробуем найти \(a\) и \(b\).
Заметим, что \(40200=402\cdot 100=201\cdot 2\cdot 100\). Таким образом, если взять числа \(201\) и \(200\), то их разность равна \(1\).
Минус следует отнести к \(200\), то есть \(x_1=201\), \(x_2=-200\).

Ответ: 201

Задание 13 #4765

Найдите корень уравнения \((2x + 11)^2 = 88x\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(4x^2 + 44x + 121 = 88x\), что равносильно \(4x^2 - 44x + 121 = 0\), что равносильно \((2x - 11)^2 = 0\), что равносильно \((2x - 11)(2x - 11) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{11}{2} = 5,5\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5,5

Задание 14 #4764

Найдите корень уравнения \((5x + 8)^2 = 160x\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(25x^2 + 80x + 64 = 160x\), что равносильно \(25x^2 - 80x + 64 = 0\), что равносильно \((5x - 8)^2 = 0\), что равносильно \((5x - 8)(5x - 8) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{8}{5} = 1,6\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6