6. Решение простейших уравнений и систем уравнений
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{5x - 24} = \dfrac{1}{16 - 3x}\).
ОДЗ: \(5x - 24 \neq 0\) и \(16 - 3x \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24)}{(5x - 24)(16 - 3x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24) = 0\), что равносильно \(-8x = -40\), тогда \(x = 5\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 5
Найдите корень уравнения \(\dfrac{2x + 73}{3x - 18} = \dfrac{2x + 73}{18x - 3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(3x - 18 \neq 0\) и \(18x - 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18)}{(3x - 18)(18x - 3)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18) = 0\), что равносильно \((2x + 73)(18x - 3 - 3x + 18) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = -36,5, \ x_2 = -1\) – подходят по ОДЗ. Итого: меньший из корней \(x = -36,5\).
Ответ: -36,5
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x - 3}{2x + 5} = \dfrac{x - 3}{5x + 2}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(2x + 5 \neq 0\) и \(5x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5)}{(2x + 5)(5x + 2)} = 0\]. Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5) = 0\), что равносильно \((x - 3)(5x + 2 - 2x - 5) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = 3, \ x_2 = 1\) – подходят по ОДЗ. Итого: больший из корней \(x = 3\).
Ответ: 3
Найдите корень уравнения \(\dfrac{20x}{3x^2 - 7} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(3x^2 - 7 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{20x - 3x^2 + 7}{3x^2 - 7} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(20x - 3x^2 + 7 = 0\), что равносильно \(3x^2 - 20x - 7 = 0\).
Дискриминант \[D = 400 + 84 = 484 = 22^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{20 + 22}{6} = 7, x_2 = \dfrac{20 - 22}{6} = -\dfrac{1}{3}\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(7\).
Ответ: 7
Найдите корень уравнения \(\dfrac{17x}{4x^2 + 4} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(4x^2 + 4 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{17x - 1\cdot(4x^2 + 4)}{4x^2 + 4} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(17x - 1\cdot(4x^2 + 4) = 0\), что равносильно \(4x^2 - 17x + 4 = 0\).
Дискриминант \[D = 289 - 64 = 225 = 15^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4, x_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = 0,25\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(4\).
Ответ: 4
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-1}{x^2 - 12x - 25} = -\dfrac{1}{3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 12x - 25 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Умножим уравнение на \(-3\), затем перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3 - (x^2 - 12x - 25)}{x^2 - 12x - 25} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(3 - (x^2 - 12x - 25) = 0\), что равносильно \(x^2 - 12x - 28 = 0\), откуда \(x_1 = 14, \ x_2 = -2\) – подходят по ОДЗ. Ответ: меньший корень \(x = -2\).
Ответ: -2
Найдите корень уравнения \(\dfrac{3x - 4}{x + 43} = -2\).
ОДЗ: \(x \neq -43\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3x - 4 + 2\cdot(x + 43)}{x + 43} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{5x + 82}{x + 43} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -16,4\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -16,4
