Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Решение простейших уравнений и систем уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Рациональные уравнения (страница 3)

Задание 15 #4780

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 2x + 2} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: \(x^2 - 2x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 2x + 2} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2) = 0\), что равносильно \(x^2 - 2x + 1 = 0\), откуда \(x = 1\) – подходит по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\).

Ответ: 1

Задание 16 #4779

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 65} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: \(x \neq \pm \sqrt{65}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 65)}{x^2 - 65} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 65) = 0\), что равносильно \(x^2 = 64\), откуда \(x = \pm 8\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -8\) – меньший корень.

Ответ: -8

Задание 17 #4778

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7,5 - x}{x - 13} = -0,25x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите модуль их разности.

ОДЗ: \(x \neq 13\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x}{x - 13} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x = 0\), что равносильно \(x^2 - 17x + 30 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \[D = 289 - 120 = 169 = 13^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 15, \ x_2 = 2\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(|15 - 2| = 13\).

Ответ: 13

Задание 18 #4777

Найдите корень уравнения \(\dfrac{x + 2}{7 - x} = 0,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: \(x \neq 7\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{x + 2 - 3,5x + 0,5x^2}{7 - x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x + 2 - 3,5x + 0,5x^2 = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \[D = 25 - 16 = 9 = 3^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 4, \ x_2 = 1\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 4\) – наибольший корень.

Ответ: 4

Задание 19 #4776

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7x + 2}{5 - 3x} = -8x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: \(x \neq \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x)}{5 - 3x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x) = 0\), что равносильно \(24x^2 - 47x - 2 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \[D = 2209 + 192 = 2401 = 49^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 2, \ x_2 = -\dfrac{1}{24}\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 2\) – наибольший корень.

Ответ: 2

Задание 20 #4775

Найдите корень уравнения \(\dfrac{-3 - 5x}{x - 5} = 2x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: \(x \neq 5\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5)}{x - 5} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5) = 0\), что равносильно \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \(D = 1\). Корни квадратного уравнения \(x_1 = 1, \ x_2 = 1,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\) – наименьший корень.

Ответ: 1

Задание 21 #4774

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1 - 2x}{\frac{2}{3} + x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{2}{3}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right)}{\dfrac{2}{3} + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \[1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2\dfrac{2}{3}x - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + \dfrac83x - 1 = 0.\] Дискриминант данного уравнения \[D = \dfrac{64}{9} + 4 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = \dfrac{1}{3}, \ x_2 = -3\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -3\) – наименьший корень.

Ответ: -3