Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

6. Решение простейших уравнений и систем уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Рациональные уравнения (страница 3)

Задание 15 #4783

Найдите корень уравнения \(\dfrac{17x}{4x^2 + 4} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: \(4x^2 + 4 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{17x - 1\cdot(4x^2 + 4)}{4x^2 + 4} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(17x - 1\cdot(4x^2 + 4) = 0\), что равносильно \(4x^2 - 17x + 4 = 0\).

Дискриминант \[D = 289 - 64 = 225 = 15^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4, x_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = 0,25\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(4\).

Ответ: 4

Задание 16 #4784

Найдите корень уравнения \(\dfrac{20x}{3x^2 - 7} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: \(3x^2 - 7 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{20x - 3x^2 + 7}{3x^2 - 7} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(20x - 3x^2 + 7 = 0\), что равносильно \(3x^2 - 20x - 7 = 0\).

Дискриминант \[D = 400 + 84 = 484 = 22^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{20 + 22}{6} = 7, x_2 = \dfrac{20 - 22}{6} = -\dfrac{1}{3}\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(7\).

Ответ: 7

Задание 17 #4785

Найдите корень уравнения \(\dfrac{x - 3}{2x + 5} = \dfrac{x - 3}{5x + 2}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: \(2x + 5 \neq 0\) и \(5x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5)}{(2x + 5)(5x + 2)} = 0\]. Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5) = 0\), что равносильно \((x - 3)(5x + 2 - 2x - 5) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = 3, \ x_2 = 1\) – подходят по ОДЗ. Итого: больший из корней \(x = 3\).

Ответ: 3

Задание 18 #4786

Найдите корень уравнения \(\dfrac{2x + 73}{3x - 18} = \dfrac{2x + 73}{18x - 3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: \(3x - 18 \neq 0\) и \(18x - 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18)}{(3x - 18)(18x - 3)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18) = 0\), что равносильно \((2x + 73)(18x - 3 - 3x + 18) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = -36,5, \ x_2 = -1\) – подходят по ОДЗ. Итого: меньший из корней \(x = -36,5\).

Ответ: -36,5

Задание 19 #4787

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{5x - 24} = \dfrac{1}{16 - 3x}\).

ОДЗ: \(5x - 24 \neq 0\) и \(16 - 3x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24)}{(5x - 24)(16 - 3x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24) = 0\), что равносильно \(-8x = -40\), тогда \(x = 5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Задание 20 #4788

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{33x - 12} = \dfrac{1}{17 + 32x}\).

ОДЗ: \(33x - 12 \neq 0\) и \(17 + 32x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(17 + 32x) - 1\cdot(33x - 12)}{(33x - 12)(17 + 32x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(17 + 32x) - 1~\cdot~(33x~-~12) = 0\), что равносильно \(-x = -29\), тогда \(x = 29\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 29

Задание 21 #8641

Найдите корень уравнения \(\frac{2}{x-4}=5\).

ОДЗ: \(x\ne 4\). Решим уравнение на ОДЗ.

Запишем число 5 как дробь со знаменателем \(x-4\).

\(\frac{2}{x-4}=\frac{5(x-4)}{x-4}\).

Две дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда, когда равны их числители. Значит,

\(2=5(x-4)\),

\(2=5x-20\),

\(5x=22\),

\(x=4,4\).

Этот корень подходит по ОДЗ.

Ответ: 4,4