Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

22. Текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на движение по прямой (страница 2)

Задание 8 #6201

Два велосипедиста выехали в одном направлении из мест, находящихся на расстоянии 13 км друг от друга. Скорость первого – 12 км/ч, а второго – 17 км/ч, причем второй находился в начале движения впереди. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 58 км?



Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на \(17-12=5\) км больше, чем первый. Следовательно, 5 км/ч – скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 13 км, стало – 58 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на \(58-13=45\) км. Значит, прошло \(45:5=9\) часов.

Ответ: 9

Задание 9 #6202

Если два велосипедиста стартуют из одной точки в одном направлении, то через 6 часов расстояние между ними будет равно 48 км. На сколько километров назад должен отъехать более быстрый велосипедист (до начала движения), чтобы догнать менее быстрого через 3,5 часа, если скорость менее быстрого 10 км/ч?



Пусть \(x\) км/ч – скорость быстрого (следовательно, \(x>10\)). Тогда \(x-10\) км/ч – скорость, с которой быстрый удаляется от медленного. Значит, за 6 часов он удалится от медленного на \(6\cdot(x-10)\) км, следовательно, \(6(x-10)=48\), откуда \(x=18\).



За 3,5 ч медленный пройдет 35 км, следовательно, если быстрому нужно отъехать назад на \(s\) км, то он должен за 3,5 ч пройти \(s+35\) км. Следовательно, \(18\cdot 3,5=s+35\), откуда \(s=28\).

Ответ: 28

Задание 10 #6203

Из пункта А в пункт С выехал мотоциклист, скорость которого 16 км/ч. Одновременно с ним из пункта В, находящегося между пунктами А и С, в пункт С выехал второй мотоциклист, скорость которого 31 км/ч. Через сколько минут расстояние между мотоциклистами будет 17,5 км? Расстояние между пунктами A и B равно 10 км.
Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланк укажите их сумму.



Заметим, что так как более быстрый мотоциклист находится впереди, то расстояние между мотоциклистами будет только увеличиваться (то есть они будут только отдаляться друг от друга). Значит, в задаче будет только один ответ.
Следовательно, расстояние между ними должно измениться на \(17,5-10=7,5\) км (так как изначально они находились на расстоянии 10 км друг от друга). Скорость удаления мотоциклистов равна \(31-16=15\) км/ч. Следовательно, время, через которое расстояние между ними увеличится еще на 7,5 км, равно \(7,5:15=0,5\) часа или \(30\) минут.

Ответ: 30

Задание 11 #6204

Из города N в город M, расстояние между которыми 36 км, выехал автомобиль со скорость 46 км/ч. Одновременно с ним из города M в том же направлении выехал другой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 21 км?
Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланк укажите их сумму.

Заметим, что так как впереди находится второй (медленный) автомобиль, то сначала автомобили будут сближаться (до того момента, как первый догонит второго), а затем будут удаляться.
Так как расстояние между ними в начале движения 36 км и \(36>21\), то первый раз расстояние в 21 км между ними будет, пока они сближаются, а второй раз – когда они будут отдаляться.



Скорость сближения автомобилей равна \(46-40=6\) км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 36 км до 21 км, то есть на \(36-21=15\) км. Следовательно, первый раз это произойдет через \(15:6=2,5\) часа.
Теперь найдем, через сколько часов после начала движения первый догонит второго. Это значит, что расстояние между ними должно стать равным 0 км. Значит, должно измениться на 36 км. Следовательно, время встречи равно \(36:6=6\) часов.
Значит, спустя 6 часов движения картинка выглядит так:



Скорость отдаления также равна 6 км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 0 км до 21 км, следовательно, на 21 км, следовательно, это произойдет через \(21:6=3,5\) часа после встречи. Значит, второй раз расстояние между ними будет равно 21 км через \(6+3,5=9,5\) часов.
Так как в задаче два ответа, то в бланк мы запишем \(2,5+9,5=12\)

Ответ: 12

Задание 12 #6205

Два поезда движутся навстречу друг другу – один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметим, что первый поезд прошел мимо него за 12 секунд. Какова длина первого поезда? Ответ дайте в метрах.

Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12 с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12 с. Следовательно, неважно, где именно в поезде в этот момент находился пассажир. Поэтому пусть пассажир находился прямо в начале поезда.



Первая картинка – когда пассажир увидел голову поезда, вторая – хвост поезда.
Заметим, что за каждую секунду первый поезд проезжает \(\dfrac{70000}{3600}=\dfrac{175}9\) м, второй – \(\dfrac{80000}{3600}=\dfrac{200}9\) м.

Следовательно, за каждую секунду пассажир удаляется от головы первого поезда на \(\dfrac{175}9+\dfrac{200}9=\dfrac{125}3\) м. Следовательно, через 12 с он удалится от головы поезда на \(\dfrac{125}3\cdot 12=500\) м. Так как в этот момент он будет видеть хвост поезда, то это значит, что 500 м и есть длина первого поезда.

Ответ: 500

Задание 13 #6206

Поезд длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости – за 3 мин. Какова длина туннеля? Ответ дайте в километрах.



Из картинки видно, что “поезд проходит мимо столба” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда”, а “поезд проходит через туннель” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда плюс длине туннеля”.
Следовательно, так как длина поезда 1 км, а мимо столба он проходит за 1 мин, то его скорость равна 1 км/мин. Следовательно, 1 км/мин \(\cdot\) 3 мин \(=\) 3 км – длина поезда плюс длина туннеля. Следовательно, длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2

Задание 14 #6207

Отчалив одновременно от противоположных берегов реки, два парома встречаются на расстоянии \(900\) метров от левого берега. Прибыв к месту назначения, каждый паром тут же отправляется обратно. Во второй раз паромы вновь встречаются на расстоянии \(300\) метров от правого берега. Паромы двигаются с постоянной скоростью. Чему равна ширина реки? Ответ дайте в километрах.

Рассмотрим схематичный рисунок:



Условно назовем паром, отчаливший от левого берега, зеленым, а паром, отчаливший от правого – синим. Пусть скорость зеленого \(x\) км/ч, синего \(y\) км/ч.
Из условия задачи следует, что \(AC=0,9\) км, \(BD=0,3\) км.
Пусть \(BC=S\). Тогда \(AB=AC+BC=0,9+S\). Так как до первой встречи паромы двигались одинаковое количество времени, то можно составить равенство: \[\dfrac Sy=\dfrac {0,9}x \quad\Rightarrow\quad \dfrac xy=\dfrac{0,9}S\]

После первой встречи и до второй встречи синий прошел расстояние, равное \(AC+AD=AC+(AB-BD)=0,9+0,9+S-0,3=1,5+S\), а зеленый – равное \(BC+BD=S+0,3\). Время, потраченное на путь у каждого парома, также было одинаковым. Следовательно, можно составить второе равенство: \[\dfrac{1,5+S}y=\dfrac{S+0,3}x \quad\Rightarrow\quad \dfrac xy=\dfrac{S+0,3}{1,5+S}\]

Таким образом, из полученных двух равенств можно заключить: \[\dfrac{0,9}S=\dfrac{S+0,3}{1,5+S} \quad\Rightarrow\quad S^2-0,6S-0,9\cdot 1,5=0\]

По теореме Виета корнями уравнения будут числа \(-0,9\) и \(1,5\). Так как \(S\) – длина отрезка, то есть неотрицательная величина, то \(S=1,5\). Следовательно, ширина реки равна \(AB=1,5+0,9=2,4\).

Ответ: 2,4