Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

22. Текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на движение по прямой (страница 3)

Задание 15 #6208

Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.

Пусть \(x\) км/ч – скорость автомобиля. Пусть \(y\) км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно \(\dfrac yx\) (ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно \(\dfrac y{90}\) (ч).   Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно, \[\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\] Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил \(\dfrac{403}x\) (ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил \(\dfrac {2y}{90}\). Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль: \[\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90}\] Это второе уравнение. Составим систему: \[\begin{cases} \dfrac yx-1=\dfrac y{90}\\[2ex] \dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90} \end{cases}\] Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x=\dfrac{90y}{90+y}\) и подставим во второе уравнение, получим: \[2y^2-313y-403\cdot 90=0\] Дискриминант \(D=313^2+2\cdot 4\cdot 403\cdot 90=388\,129\). Извлечем корень из данного числа. Так как \(600^2=360\,000\), а \(700^2=490\,000\), то \(600<\sqrt{388\,129}<700\). Так как \(61^2=3721\), \(62^2=3844\), \(63^2=3969\), то \(620<\sqrt{388\,129}<630\). Подберем последнюю цифру: на конце дают \(9\) следующие цифры, возведенные в квадрат: \(3\) и \(7\) (\(3^2=9, 7^2=49\)). Проверим: \(623^2=388\,129\). Таким образом, \(\sqrt{D}=623\).
Найдем корни: \[y_{1,2}=\dfrac{313\pm623}{4}\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=234\\&y=-77,5\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(y\) – расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень \(y=234\).

 

Ответ: 234

Задание 16 #6209

Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист. Через полчаса после прибытия в B он выехал обратно и одновременно с этим навстречу ему выехал второй мотоциклист из А. Из-за поломки скорость первого мотоциклиста на обратном пути уменьшилась в \(3\) раза по сравнению с первоначальной. Скорость второго мотоциклиста оказалась на \(20\) км/ч больше, чем первоначальная скорость первого. Время, через которое произошла встреча, оказалось в два раза меньше, чем время, которое первый потратил на дорогу из А в В. Найдите скорость второго мотоциклиста в км/ч.

Пусть \(t\) ч – время, которое затратил первый мотоциклист на путь из А в В,

\(v\) км/ч – первоначальная скорость первого мотоциклиста.

Тогда расстояние между пунктами А и В равно \(v \cdot t\) км, расстояние, которое проехал первый мотоциклист из В до места встречи, равно \[\dfrac{1}{3}v \cdot 0,5 t\ \text{км},\] а расстояние, которое проехал второй мотоциклист из А до места встречи, равно \[(v + 20)\cdot 0,5 t\ \text{км}.\]

Так как сумма расстояний, которые они одновременно проехали до места встречи, равна расстоянию от А до В, то

\[vt = \dfrac{1}{3}v \cdot 0,5 t + (v + 20)\cdot 0,5 t\qquad \Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{3}vt = 10t,\] откуда находим \(v = 30\) и, следовательно, скорость второго мотоциклиста равна \(v + 20 = 50\) км/ч.

Ответ: 50

Задание 17 #6210

Из пункта А в пункт В вышел турист. Одновременно с этим из пункта В в пункт А выбежал бегун. Турист шёл весь путь с постоянной скоростью. Бегун бежал первую треть пути из А в В со скоростью \(10\) км/ч, а всё оставшееся расстояние со скоростью в два раза большей, чем скорость туриста. Найдите скорость туриста, если до места встречи с бегуном он успел пройти треть пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(S\) км – расстояние между А и В,

\(v\) км/ч – скорость туриста.

Тогда время, которое турист шёл до места встречи, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{v},\] время, которое бегун потратил на первую треть пути, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{10},\] а время, которое бегун потратил на вторую треть пути (то есть на путь до места встречи), равно \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{2v}.\]

Так как турист и бегун начали движение одновременно, то \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{v} = \dfrac{\frac{1}{3}S}{10} + \dfrac{\frac{1}{3}S}{2v}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{10S}{30v} = \dfrac{vS}{30v} + \dfrac{5S}{30v},\] откуда получаем \(v = 5\) км/ч.

Ответ: 5

Задание 18 #6211

Два брата пробежали марафон длинной \(42\) километра. Оба брата бежали марафон с постоянной скоростью, причём скорость младшего была на \(1\) км/ч больше, чем скорость старшего, в результате чего он прибыл к финишу на \(1\) час раньше. С какой скоростью бежал старший из братьев? Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v\) км/ч – скорость старшего брата.

Тогда время, за которое старший брат пробежал марафон, равно \[\dfrac{42}{v},\] а время младшего брата \[\dfrac{42}{v + 1}.\]

Так как младший брат пробежал марафон на 1 час быстрее, чем старший, то:

\[\dfrac{42}{v} = \dfrac{42}{v + 1} + 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 42(v + 1) = 42v + v(v + 1)\] – при \(v \neq 0\), \(v \neq -1\), что равносильно \(v^2 + v - 42 = 0\) при \(v \neq 0\), \(v \neq -1\). Откуда находим \(v_1 = 6, \ v_2 = -7\). Таким образом, скорость старшего брата \(6\) км/ч.

Ответ: 6

Задание 19 #6212

Из двух городов, расстояние между которыми равно \(840\) км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого \(70\) км/ч, а скорость второго \(60\) км/ч. Через сколько часов они встретились, если известно, что автомобиль первого автомобилиста сломался на полпути между этими городами и на его починку пришлось потратить час.

Половина расстояния между городами 420 км. Это расстояние первый автомобилист преодолел за 6 часов, а второй автомобилист за 7 часов.

Так как первый сломался на полпути между городами, то через 7 часов после начала движения он также был на полпути между городами, то есть, через 7 часов они встретились.

Ответ: 7

Задание 20 #6213

Борис выехал в город из деревни Борисовка на мопеде со скоростью \(30\) км/ч, но через \(90\) км его мопед сломался и он был вынужден пройти пешком \(10\) км до ближайшей деревни Ивановка. Это расстояние Борис шёл со скоростью \(5\) км/ч. В Ивановке ему посчастливилось взять напрокат велосипед и оставшиеся до города \(65\) км он проехал со скоростью \(13\) км/ч. Найдите среднюю скорость Бориса. Ответ дайте в км/ч.

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Бориса составляет \(90 + 10 + 65 = 165\) км.

Время, которое Борис потратил на этот путь, равно \(90 : 30 + 10 : 5 + 65 : 13 = 10\) ч. Тогда средняя скорость Бориса равна \(165 : 10 = 16,5\) км/ч.

Ответ: 16,5

Задание 21 #6214

Евгений добирался из Москвы до Сочи автостопом. Первые \(20\) км он шёл пешком со скоростью \(4\) км/ч, после чего ехал с первым попутчиком следующие 500 км со скоростью \(100\) км/ч, затем Евгений ехал ещё \(500\) км со вторым попутчиком со скоростью \(125\) км/ч, а оставшиеся \(600\) км он ехал с третьим попутчиком со скоростью \(100\) км/ч. Найдите среднюю скорость Евгения. Ответ дайте в км/ч.

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет \(20 + 500 + 500 + 600 = 1620\) км.

Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно \(20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20\) ч. Тогда средняя скорость Евгения равна \(1620 : 20 = 81\) км/ч.

Ответ: 81