Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

22. Текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на движение по прямой (страница 4)

Задание 22 #6215

Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?

Первый способ:

Первый кот за час убегает от второго на \(0,5\) км = \(500\) метров, тогда на \(100 = 500 : 5\) метров он убегает от второго кота за \(60 : 5 = 12\) минут. На 200 метров первый кот обгонит второго за \(12 \cdot 2 = 24\) минуты.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость второго кота, тогда
\(v + 0,5\) км/ч – скорость первого кота.
Пусть \(t\) ч – время, через которое первый кот обгонит второго на \(200\) м = \(0,2\) км.
\(v\cdot t\) км – расстояние, которое второй кот пробежит за \(t\) часов,
\((v + 0,5)\cdot t\) км – расстояние, которое первый кот пробежит за \(t\) часов, тогда
за \(t\) часов первый кот пробежит больше второго на \((v + 0,5)\cdot t - v\cdot t\) км, откуда
\[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,2\qquad\Leftrightarrow \qquad v\cdot t + 0,5t - v\cdot t = 0,2,\] откуда \(t = 0,4\) ч, то есть через \(60 \cdot 0,4 = 24\) минуты расстояние между котами станет равным 200 метрам.

Ответ: 24

Задание 23 #6216

Два туриста одновременно вышли в одном направлении в город N. При этом вышли они из разных городов, расстояние между которыми \(9\) км. Известно, что турист, изначально находившийся дальше от города N, шёл со скоростью, в два раза превышающей скорость другого туриста. В город N они прибыли одновременно, через \(3\) часа после начала движения. Найдите скорость туриста, который шёл быстрее. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v\) км/ч – скорость медленного туриста.

Тогда расстояние, которое прошёл медленный турист, равно \(3v\), а расстояние, которое прошёл быстрый турист, равно \(2v \cdot 3 = 6v\).

Так как быстрый турист прошёл на 9 км больше, то:

\[6v - 3v = 9,\] откуда находим \(v = 3\) км/ч, значит скорость быстрого туриста \(2\cdot 3 = 6\) км/ч.

Ответ: 6

Задание 24 #6217

Два велосипедиста одновременно выехали из пункта C в пункт D с одинаковой скоростью. Расстояние между пунктом D и пунктом C – \(30\) км. Проехав первую треть пути с постоянной скоростью, первый велосипедист увеличил скорость в два раза и ехал с ней до D, а второй велосипедист всю дорогу ехал с постоянной скоростью. Найдите первоначальную скорость обоих велосипедистов, если в D второй велосипедист прибыл на час позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v\) км/ч – стартовая скорость велосипедистов.

Тогда время, которое потратил на путь второй велосипедист, равно \[\dfrac{30}{v},\] время, которое потратил на первую треть пути первый велосипедист, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}\cdot30}{v},\] а время, которое потратил на оставшуюся часть пути первый велосипедист, равно \[\dfrac{\frac{2}{3} \cdot 30}{2v}.\]

Так как первый прибыл в пункт D на час раньше, то:

\[\dfrac{\frac{1}{3}\cdot30}{v} + \dfrac{\frac{2}{3} \cdot 30}{2v} = \dfrac{30}{v} - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{10}{v} + \dfrac{10}{v} = \dfrac{30}{v} - \dfrac{v}{v} \qquad\Leftrightarrow\qquad 20 = 30 - v\] – при \(v \neq 0\), откуда находим \(v = 10\) км/ч.

Ответ: 10

Задание 25 #6218

Лыжник проехал \(2\) км с горы со скоростью \(20\) км/ч, после чего подскользнулся и пролетел \(1\) км кубарем со скоростью \(10\) км/ч. Оставшиеся \(2\) км он спускался на подъёмнике со скоростью \(15\) км/ч. Найдите среднюю скорость лыжника. Ответ дайте в км/ч.

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь.

Весь путь лыжника составил \(2 + 1 + 2 = 5\) км.

Время, которое лыжник потратил на этот путь, равно \[2 : 20 + 1 : 10 + 2 : 15 = \dfrac{1}{3}\ \text{ч}.\] Тогда средняя скорость лыжника равна \[5 : \dfrac{1}{3} = 15\ \text{км/ч}.\]

Ответ: 15

Задание 26 #6219

Путник прошёл \(10\) км пешком за \(2\) ч, затем проехал \(15\) км на такси за \(30\) мин, после чего проплыл \(10\) км на лодке за \(1\) ч. Во сколько раз среднее арифметическое скоростей: пешком, на такси и на лодке больше, чем его средняя скорость?

Скорости пешком, на такси и на лодке соответственно равны \(5\) км/ч, \(30\) км/ч,\(10\) км/ч. Их среднее арифметическое равно \(\dfrac{5 + 30 + 10}{3} = 15\) км/ч.

Средняя скорость путника равна \[\dfrac{10 + 15 + 10}{2 + 0,5 + 1} = \dfrac{35}{3,5} = 10\, \text{км/ч},\] тогда искомая величина равна \[15 : 10 = 1,5\,.\]

Ответ: 1,5

Задание 27 #6220

Лыжник планировал проехать \(4\) км с горы с постоянной скоростью \(v\). Вместо этого первые два километра он проехал в два раза быстрее, чем планировал, а оставшиеся два километра он проехал в два раза медленнее, чем планировал. Во сколько раз больше времени ушло у лыжника на самом деле, чем должно было бы уйти, если бы всё в его жизни было по плану?

Пусть по плану на весь маршрут лыжника должно было уйти \(t\) часов, тогда на первые два километра (которые составляют половину пути) у лыжника ушло \[t\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = 0,25t\, ч\,,\] а на оставшиеся два километра ушло \[t\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2 = t\, \text{ч}\,,\] следовательно, на весь путь ушло \(1,25t\) ч, то есть в \(1,25\) раза больше, чем было запланировано изначально.

Ответ: 1,25

Задание 28 #6221

Лыжник планировал проехать \(10\) км с горы за \(20\) минут с постоянной скоростью \(v\). Вместо этого первые несколько километров он проехал в два раза быстрее, чем планировал, а оставшиеся километры он проехал в два раза медленнее, чем планировал. В итоге весь путь занял у него \(34\) минуты. Сколько километров лыжник проехал в два раза быстрее, чем планировал?

Пусть \(t\) мин – время, которое лыжник должен был потратить на те самые несколько километров, которые он ехал быстрее, чем планировал. Тогда время, на самом деле затраченное лыжником, есть \[t\cdot\dfrac{1}{2} + (20 - t)\cdot 2 = 34\qquad\Leftrightarrow\qquad t = 4\,,\] следовательно, на те самые несколько километров, которые он ехал быстрее, лыжник должен был потратить \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\) часть всего времени. Так как скорость лыжника должна была быть постоянной, то расстояние, которое он ехал быстрее, равно \[10\cdot\dfrac{1}{5} = 2\, \text{км}.\]

Ответ: 2