Задачи на движение по воде (страница 2)

Пусть скорость течения реки равна \(v_{\text{т}}\), тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_{\text{т}} = 20 + v_{\text{т}}\) км.

Так как обратный путь занял \(2\) ч, то \[20 + v_{\text{т}} = 2\cdot (13 - v_{\text{т}})\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 2\, \text{км/ч}.\]

Ответ: 2

Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения, средняя скорость лодки:\[v_{\text{ср}} = \dfrac{10 + 5}{3} = 5\, \text{км/ч}\,.\]

Ответ: 5

Пусть собственная скорость лодки равна \(v_{\text{л}}\) км/ч, а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\) км/ч. За первый час лодка проплыла \(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}\), а за второй час (на обратном пути) \(v_{\text{л}} - v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}) - (v_{\text{л}} - v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\) км до финиша.

Ответ: 5

Пусть собственная скорость яхты равна \(v_{\text{я}}\) км/ч, а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\) км/ч. За первый час Игорь проплыл \(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}\), а за второй час \(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - (v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило \[|0,5(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - 0,5(v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило \[|0,25(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}) - 0,25(v_{\text{я}} - v_{\text{т}})| = 0,5v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

В итоге за \(3,5\, ч\) поисков Игорь переместился на \(3,5v_{\text{т}}\) от места начала поисков, что по условию составило \(10,5\) км, тогда \[3,5v_{\text{т}} = 10,5\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 3\,.\]

Ответ: 3

Пусть \(x\) км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда можно составить следующее уравнение: \[\dfrac{40}{x+2}+\dfrac 6{x-2}=3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{46x-68}{x^2-4}=3 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-46x+56=0\] Дискриминант равен \(D=4\cdot 361=(38)^2\), следовательно, корнями будут \(x_1=\dfrac43\) и \(x_2=14\). Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то \(x_1\) не подходит. Следовательно, \(x=14\).

Ответ: 14

Рассмотрим одного из пловцов (например, того, кто плыл против течения) и плот. Если скорость течения равна \(x\) м/мин, а собственная скорость пловца \(y\) м/мин, то за 5 минут плот сдвинется вправо на \(5x\) м, а пловец влево на \(5y-5x\) м (рис. 1). Если бы действие происходило в стоячей воде, то плот бы не сдвинулся с места, а пловец сдвинулся бы влево на \(5y\) м (рис. 2).



Таким образом, расстояние между плотом и пловцом что в стоячей воде, что при движении по реке меняется одинаково (в обоих случаях расстояние между ними через 5 минут будет равно \(5y\)).
Таким образом, можно предполагать, что действие в задаче происходит в стоячей воде.

Тогда если первый пловец отплыл от плота на расстояние \(s_1\), а второй – на расстояние \(s_2\) за 5 минут, то для того, чтобы вернуться на плот, также нужно первому пройти расстояние \(s_1\), а второму – \(s_2\). Так как их скорости остаются прежними, то на то, чтобы вернуться на плот, им понадобится тоже 5 минут. Следовательно, вернутся на плот они одновременно через 10 минут после прыжка.

Ответ: 10