Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

9. Теория вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Классическое определение вероятности событий (страница 6)

Задание 36 #5625

У Кости есть 14 чёрных, 5 синих и 1 красная ручка. Он заполняет отчёт, который нельзя заполнять красной или синей ручкой. При этом у Кости есть только 6 колпачков: 1 красный и 5 синих (колпачки надеты на ручки с чернилами того же цвета). Какова вероятность того, что выбранная наугад ручка будет иметь колпачок и ею можно будет заполнять отчёт?

Среди Костиных ручек для заполнения отчёта подходят только чёрные, но у всех них нет колпачков, следовательно, то, что “выбранная наугад ручка будет иметь колпачок и ею можно будет заполнять отчёт”\(\ \) невозможно и вероятность этого равна \(0\).

Ответ: 0

Задание 37 #5626

У Андрея есть 10 томов стихов. Он прочёл первые 3 тома и последние 2. Известно, что слово “каша”\(\ \) встречается в этих 10 томах 32 раза, при этом в первых 3 томах оно встречается 19 раз, а в последних 2 томах оно встречается 12 раз. Какова вероятность того, что выбранный наугад том стихов будет не прочитан Андреем и в нём встретится слово “каша”\(\ \)?

Всего Андрею слово “каша”\(\ \) встречалось \(19 + 12 = 31\) раз, следовательно, в томах, которые он ещё не читал, оно встречается ещё \(32 - 31 = 1\) раз, то есть содержится только в одном томе. Иными словами, только 1 том удовлетворяет условию задачи. Вероятность того, что случайным образом будет выбран именно он, равна \[\dfrac{1}{10} = 0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 38 #5627

На полке помещается 8 книг. Таня расставляет книги на полке случайным образом. Какова вероятность того, что из двух томов стихов Лермонтова первый окажется левее, чем второй? Ответ округлите до сотых.

Понятно, что вероятность того, что первый том окажется левее, чем второй, равна вероятности того, что второй том окажется левее, чем первый. Так как при любой расстановке книг на полке один из двух томов будет левее другого, то сумма вероятностей того, что левее будет первый том и того, что левее будет второй том, равна 1. Следовательно, вероятность того, что левее будет первый том, равна \[\dfrac{1}{2} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 39 #5628

На полке помещается 11 книг. Настя расставляет книги на полке случайным образом. Какова вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом? Ответ округлите до сотых.

Так как вероятности постановки на каждое место любой книги одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества способов расстановки, в которых тома Пушкина стоят рядом, к количеству всевозможных способов расстановки книг на полке.

Найдем число способов, которыми можно поставить книги так, чтобы тома Пушкина стояли рядом: для этого мысленно объединим два тома в одну книгу, занимающую 2 места, тогда ее можно поставить на любое из 10 мест на полке.

 

На первое место можно поставить одну из 10 книг, на второе одну из 9, ..., на последнее место можно поставить последнюю книгу. Итого: \(10! = 10\cdot 9\cdot ...\cdot 1\) способов. При этом каждому такому способу в исходной задаче будут соответствовать 2 разных способа (объединить тома в одну книгу можно было двумя способами, в зависимости от того, какой том слева, а какой справа). В итоге количество подходящих способов равно \(2\cdot 10!\). При этом поставить 11 книг на полку можно \(11!\) способами.

Вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом, равна \[\dfrac{2\cdot 10!}{11!} = \dfrac{2\cdot 10\cdot 9\cdot...\cdot 1}{11\cdot 10\cdot 9\cdot...\cdot 1} = \dfrac{2}{11} = 0,(18).\] После округления имеем окончательно \(0,18\).

Ответ: 0,18

Задание 40 #5629

Из множества натуральных чисел от 21 до 30 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3 или на 13?

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 3 или на 4, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

Так как число от 21 до 30 не может одновременно делиться на 3 и на 13, то события \( \)“число делится на 3”\(\ \)и\(\ \)“число делится на 13”\( \) несовместны.

В данном множестве на 3 делятся: 21, 24, 27, 30, а на 13 делятся: 26. Всего в множестве натуральных чисел от 21 до 30 имеется 10 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 3 или на 13 равна \[\dfrac{5}{10} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 41 #5630

Из множества натуральных чисел от 1 до 100 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 15 или на 10?

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 15 или на 10, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

В данном множестве на 15 или на 10 делятся: 10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90, 100. Всего в множестве натуральных чисел от 1 до 100 имеется 100 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 15 или на 10 равна \[\dfrac{13}{100} = 0,13.\]

Ответ: 0,13

Задание 42 #5631

В коробке лежат 4 синих, 7 красных, 6 зеленых и 3 желтых карандаша. Миша наугад достает один карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш синий или красный?

Так как вероятности выбора любого карандаша из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества синих и красных карандашей к общему количеству карандашей в коробке.

Вероятность того, что наугад взятый карандаш окажется синим или красным равна \[\dfrac{7 + 4}{7 + 4 + 6 + 3} = 0,55.\]

Ответ: 0,55