21. Уравнения и неравенства, их системы. Алгебраические выражения
Решите уравнение \(x^3=4x^2+5x\).
Перенесем все в левую часть и вынесем \(x\) за скобку: \[x(x^2-4x-5)=0\] Следовательно, или \(x=0\), или \(x^2-4x-5=0\). Корни квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: это \(x=-1\) и \(x=5\).
Ответ: −1; 0; 5
Решите уравнение \((x-2)^2(x-3)=12(x-2)\).
Перенесем слагаемые в левую часть и вынесем \((x-2)\) за скобку: \[(x-2)((x-2)(x-3)-12)=0\quad\Rightarrow\quad (x-2)(x^2-5x-6)=0\] Следовательно, \(x=2\) или \(x^2-5x-6=0\), откуда \(x=2; -1; 6\).
Ответ: −1; 2; 6
Решите уравнение \((x-2)(x-3)(x-4)=(x-2)(x-3)(x-5)\).
Перенесем слагаемые в левую часть и вынесем общие множители: \[(x-2)(x-3)(x-4-x+5)=0\] Следовательно, \(x=2; 3\)
Ответ: 2; 3
Решите уравнение \(\dfrac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1\).
Перенесем слагаемые влево и приведем к общему знаменателю: \[\dfrac{2x^2+7x+3-x^2+9}{x^2-9}=0\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x^2+7x+12}{(x-3)(x+3)}=0\] Данное уравнение равносильно \[\begin{cases} x^2+7x+12=0\\ (x-3)(x+3)\ne 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=-4;-3\\x\ne \pm 3\end{cases}\quad\Rightarrow\quad x=-4\]
Ответ: −4
