Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на клетчатой бумаге

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на клетчатой бумаге (страница 3)

Задание 15 #6096

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) отмечены точки \(A, B, C\). Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).

Проведем прямую \(BC\) и перпендикуляр \(AH\):



Из рисунка видно, что \(AH=4\).

Ответ: 4

Задание 16 #6097

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен ромб. Найдите его площадь.

Проведем диагонали данного ромба:



Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно, \[S=\dfrac12\cdot 4\cdot 6=12\]

Ответ: 12

Задание 17 #6098

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Большее основание равно \(11\), меньшее равно \(5\), следовательно, средняя линия равна \((11+5):2=8\).

Ответ: 8

Задание 18 #6099

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Отметим точки \(A, B, C, E\):



\(BE\perp AC\), причем \(BE=9\). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры – это и высоты, и медианы, и биссектрисы.
То есть центр описанной окружности лежит на высоте \(BE\), которая также является и медианой. Пусть \(O\) – центр этой окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \(OB:OE=2:1\), откуда \[OB=\dfrac23BE=6\] Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника, то есть \(OB\). Таким образом, радиус равен \(6\).

Ответ: 6

Задание 19 #6100

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Опишем вокруг трапеции прямоугольник, как показано на рисунке:



Тогда для того, чтобы найти площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади трех прямоугольных треугольников: \[S=6\cdot 7-\left(\dfrac12\cdot 6\cdot 6+\dfrac12\cdot 1\cdot 3+\dfrac12 \cdot 3\cdot 3\right)=18\]

Ответ: 18

Задание 20 #6101

На клетчатой бумаге изображен треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности, если сторона одной клетки равна \(3\).

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле \(S=p\cdot r\), где \(S\) – площадь, \(p\) – полупериметр.
Заметим, что треугольник равнобедренный: \(AB=BC.\)



Так как длина стороны клетки равна \(3\), то \(AH=12, BH=9\), следовательно, \(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=15.\) Тогда \[\dfrac12\cdot BH\cdot AC=\dfrac{AB+BC+AC}2\cdot r \quad\Rightarrow\quad r=4.\]

Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна \(1\), а затем умножать полученный ответ на \(3\). Если бы длина одной клетки была равна \(1\), то \(AH=4, BH=3\), \(AB=5\) и \(r=\frac43\). Тогда после умножения на \(3\) также получили бы \(r=4\). При решении задачи таким способом вычисления будут легче.

Ответ: 4

Задание 21 #6102

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите длину средней линии, параллельной стороне \(AB\).

Длина средней линии треугольника, параллельной стороне \(AB\), равна \(\frac12AB\). Так как \(AB=7\), то средняя линия равна \(3,5\).

Ответ: 3,5