Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на клетчатой бумаге

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на клетчатой бумаге (страница 4)

Задание 22 #6103

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите площадь треугольника \(A'B'C\), где \(A'B'\) – средняя линия, параллельная стороне \(AB\).

Пусть \(A'\in AC, B'\in BC\).



По свойству средней линии \(\triangle ABC\sim \triangle A'B'C\) с коэффициентом подобия, равным \(2\). Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть \[\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C}}=4\] Высота \(\triangle ABC\), опущенная из \(C\), равна \(2\), \(AB=7\). Следовательно, \(S_{ABC}=\frac12\cdot 2\cdot 7=7\). Тогда \[S_{A'B'C}=\dfrac74=1,75.\]

Ответ: 1,75

Задание 23 #6104

На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его градусную величину.

Обозначим этот угол \(ASD\). Отметим точку \(F\) так, чтобы получился прямоугольный \(\triangle SDF\):



Тогда \(\angle ASD=\angle ASF+\angle FSD\). Заметим, что \(\angle ASF=90^\circ\). Заметим также, что \(FS=FD\), следовательно, \(\triangle SDF\) прямоугольный и равнобедренный, значит, его острые углы равны по \(45^\circ\).
Следовательно, \[\angle ASD=90^\circ+45^\circ=135^\circ.\]

Ответ: 135

Задание 24 #6105

На клетчатой бумаге изображен треугольник \(ABC\). Найдите его высоту, опущенную из вершины \(C\), если длина стороны \(AB\) равна 7.
Вершины треугольника лежат в узлах решетки.

Заметим, что \(\triangle ABC\) равнобедренный: если \(x\) – длина стороны одной клетки, то \(AC=\sqrt{(5x)^2+(5x)^2}=\sqrt{50}x\) и \(BC=\sqrt{x^2+(7x)^2}=\sqrt{50}x\). Следовательно, высота из точки \(C\) также будет являться и медианой, следовательно, упадет в середину \(AB\) – точку \(H\). Для того, чтобы найти середину \(AB\), можно построить прямоугольник \(AB'BA'\) (взяв \(AB\) за диагональ) и найти точку пересечения диагоналей:



Заметим, что \(AB\) – гипотенуза прямоугольного треугольника \(AB'B\) с катетами \(2x\) и \(6x\), а \(CH\) – гипотенуза прямоугольного треугольника \(CHK\) с такими же катетами \(2x\) и \(6x\). Следовательно, \(CH=AB=7\).

Ответ: 7

Задание 25 #6106

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисована трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть \(0,5\cdot (3 \text{мм} + 4 \text{мм})\cdot 3 \text{мм} = 10,5\)мм\(^2\).

Ответ: 10,5

Задание 26 #6107

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, тогда площадь нарисованного треугольника есть \(0,5\cdot 3\)мм \(\cdot 4\)мм \(= 6\)мм\(^2\).

Ответ: 6

Задание 27 #6108

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна \(0,5(2 \text{мм} + 3 \text{мм})\cdot 4 \text{мм} = 10\) мм\(^2\).

Ответ: 10

Задание 28 #6109

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован невыпуклый шестиугольник \(ABCDEF\). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже



Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию.
Площадь треугольника \(ABF\) равна \(0,5 \cdot BF \cdot AF = 3\)мм\(^2\).
Площадь треугольника \(CBH\) равна \(0,5 \cdot CH \cdot BH = 1\)мм\(^2\).
Площадь трапеции \(FHDE\) равна \(0,5\cdot(DE + HF)\cdot GE = 3,5\)мм\(^2\). \(S_{ABCDEF} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle CBH} + S_{FHDE} = 7,5\)мм\(^2\).

Ответ: 7,5