Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Площадь треугольника равна \(S=0,5 ah\), где \(a\) – сторона, \(h\) – высота, проведенная к этой стороне. Рассмотрим чертеж:
Пусть \(BD\) – медиана. Проведем \(BH\perp AC\). Тогда \(BH\) – высота \(\triangle ABD\), проведенная к \(AD\) (так как треугольник тупоугольный, то высота падает не на сторону, а на продолжение стороны). Также \(BH\) – высота \(\triangle CBD\), проведенная к \(CD\). Следовательно, \[\dfrac{S_{ABD}}{S_{CBD}}=\dfrac{0,5 AD\cdot BH}{0,5CD\cdot BH}=1,\] так как \(AD=CD\). Чтд.
Ответ: доказательство
