Заметим, что левые части уравнений равны, следовательно, равны и правые части: $7y=7x$, откуда $x=y$. Подставим в первое уравнение: \[\begin{aligned} &(x+6x)^2=7x\quad\Rightarrow\quad (7x)^2-7x=0\quad\Rightarrow\\[1ex] &(7x)(7x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0; \frac17 \end{aligned}\]Так как $y=x$, то получаем следующие пары решений: $(0;0), \left(\frac17;\frac17\right)$.

Ответ записывается в виде $(x;y)$.

Ответ: $(0;0), \left(\frac17;\frac17\right)$

Задание 2 #5599

Решите систему уравнений $\begin{cases}3x^2-2x=y,\\ 3x-2=y.\end{cases}$

Показать решение

Правые части уравнений равны, следовательно, равны и левые части: $3x^2-2x=3x-2$, откуда $x(3x-2)-(3x-2)=0$, следовательно, $(x-1)(3x-2)=0$. Значит, $x=1$ и $x=\frac23$. Тогда при $x=1$ получаем $y=1$, при $x=\frac23$ получаем $y=0$.

Ответ записывается в виде $(x;y)$.

Ответ: $\left(\frac23; 0\right), (1;1)$

Задание 3 #5600

Решите систему уравнений $\begin{cases} x+2y=5,\\x^2-4y^2=35.\end{cases}$

Показать решение

По формуле разности квадратов второе уравнение системы можно преобразовать $(x-2y)(x+2y)=35$. Сделаем подстановку: во второе уравнение вместо $x+2y$ подставим 5 и получим новую систему: \[\begin{cases}x+2y=5\\ 5(x-2y)=35\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}x+2y=5\\x-2y=7\end{cases}\] Сложим оба уравнения, получим $2x=5+7$, откуда $x=6$. Следовательно, $y=\frac12(5-x)=-0,5$.

Ответ записывается в виде $(x;y)$.

Ответ: (6; −0, 5)

Задание 4 #5601

Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2=4y+1,\\ x^2+3=4y+y^2.\end{cases}$

Показать решение

Перепишем \[\begin{cases} x^2-4y=1\\x^2-4y=y^2-3\end{cases}\] Левые части уравнений равны, следовательно, равны и правые: $\, 1=y^2-3$, откуда $y=\pm 2$. Следовательно, при $y=2$ получаем $x=\pm 3$, при $y=-2$ получаем $x^2=-7$ (не имеет решений).

Ответ: ( − 3; 2),(3; 2)