Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

21. Уравнения и неравенства, их системы. Алгебраические выражения

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение систем уравнений подстановкой

Задание 1 #5598

Решите систему уравнений \(\begin{cases} (x+6y)^2=7y,\\ (x+6y)^2=7x.\end{cases}\)

Заметим, что левые части уравнений равны, следовательно, равны и правые части: \(7y=7x\), откуда \(x=y\). Подставим в первое уравнение: \[\begin{aligned} &(x+6x)^2=7x\quad\Rightarrow\quad (7x)^2-7x=0\quad\Rightarrow\\[1ex] &(7x)(7x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0; \frac17 \end{aligned}\]Так как \(y=x\), то получаем следующие пары решений: \((0;0), \left(\frac17;\frac17\right)\).

 

Ответ записывается в виде \((x;y)\).

Ответ: $(0;0), \left(\frac17;\frac17\right)$

Задание 2 #5599

Решите систему уравнений \(\begin{cases}3x^2-2x=y,\\ 3x-2=y.\end{cases}\)

Правые части уравнений равны, следовательно, равны и левые части: \(3x^2-2x=3x-2\), откуда \(x(3x-2)-(3x-2)=0\), следовательно, \((x-1)(3x-2)=0\). Значит, \(x=1\) и \(x=\frac23\). Тогда при \(x=1\) получаем \(y=1\), при \(x=\frac23\) получаем \(y=0\).

 

Ответ записывается в виде \((x;y)\).

Ответ: $\left(\frac23; 0\right), (1;1)$

Задание 3 #5600

Решите систему уравнений \(\begin{cases} x+2y=5,\\x^2-4y^2=35.\end{cases}\)

По формуле разности квадратов второе уравнение системы можно преобразовать \((x-2y)(x+2y)=35\). Сделаем подстановку: во второе уравнение вместо \(x+2y\) подставим 5 и получим новую систему: \[\begin{cases}x+2y=5\\ 5(x-2y)=35\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}x+2y=5\\x-2y=7\end{cases}\] Сложим оба уравнения, получим \(2x=5+7\), откуда \(x=6\). Следовательно, \(y=\frac12(5-x)=-0,5\).

 

Ответ записывается в виде \((x;y)\).

Ответ: (6; −0, 5)

Задание 4 #5601

Решите систему уравнений \(\begin{cases} x^2=4y+1,\\ x^2+3=4y+y^2.\end{cases}\)

Перепишем \[\begin{cases} x^2-4y=1\\x^2-4y=y^2-3\end{cases}\] Левые части уравнений равны, следовательно, равны и правые: \(\, 1=y^2-3\), откуда \(y=\pm 2\). Следовательно, при \(y=2\) получаем \(x=\pm 3\), при \(y=-2\) получаем \(x^2=-7\) (не имеет решений).

Ответ: ( − 3; 2),(3; 2)