11. Числовые последовательности
Последовательность задана условиями \(b_1=7\), \(b_{n+1}=-\dfrac1{b_n}\). Найдите \(b_5\).
Из данной в условии формулы следует, что \[\begin{aligned} &b_2=-\dfrac1{b_1}=-\dfrac17 \\[1ex] &b_3=-\dfrac1{b_2}=-\dfrac1{-\frac17}=7\\[1ex] &b_4=-\dfrac1{b_3}=-\dfrac17 \\[1ex] &b_5=-\dfrac1{b_4}=7\end{aligned}\]
Ответ 7.
Ответ: 7
Последовательность задана условиями \(b_1=-6\), \(b_{n+1}=-\dfrac3{b_n}\). Найдите \(b_3\).
Из данной в условии формулы следует, что \[\begin{aligned} &b_2=-\dfrac3{b_1}=-\dfrac3{-6}=\dfrac12 \\[1ex] &b_3=-\dfrac3{b_2}=-\dfrac3{\frac12}=-6\end{aligned}\]
Ответ -6.
Ответ: -6
Последовательность задана формулой \(c_n=-4n^2+7\). Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
Укажите номер правильного ответа.
1) \(-56\)
2) \(-58\)
3) \(-57\)
4) \(-55\)
Способ 1.
Перепишем формулу как \(4n^2=7-c_n\). Из этой формулы видно, что левая часть делится на 4, следовательно, и правая часть должна делиться на 4. Отберем те числа (из данных четырех), которые подходят под условие \((7-c_n) \ \vdots \ 4\). Это единственное число \(-57\).
Проверим, действительно ли оно является членом последовательности:
\(4n^2=7-(-57)=64\), откуда \(n^2=16\), откуда \(n=4\) (так как \(n\) – натуральное число). Так как мы действительно получили натуральное \(n\), то \(-57\) является членом последовательности (причем четвертым).
Способ 2.
Данный способ – это та же самая проверка, как и во второй части решения первым способом, но для каждого из данных четырех чисел (без дополнительного отбора с помощью делимости). Этот способ менее предпочтителен тем, что является более долгим.
Ответ: 3
Последовательность задана формулой \(c_n=-n^2+2\). Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
Укажите номер правильного ответа.
1) \(1\)
2) \(3\)
3) \(4\)
4) \(0\)
Перепишем формулу как \(n^2=2-c_n\). Из этой формулы видно, что левая часть является полным квадратом, следовательно, и правая должна быть полным квадратом. Отберем те числа (из данных четырех), которые подходят под это условие. Это единственное число \(1\).
Проверим, действительно ли оно является членом последовательности:
\(n^2=2-1=1\), откуда \(n^2=1\), откуда \(n=1\) (так как \(n\) – натуральное число). Так как мы действительно получили натуральное \(n\), то \(1\) является членом последовательности (причем первым).
Ответ: 1
Последовательность задана формулой \(x_n=19\cdot \dfrac{(-1)^n}n\). Какое из указанных чисел не является членом этой последовательности?
1) \(-\dfrac{19}{21}\qquad \) 2) \(\dfrac{19}{20}\qquad \) 3) \(-9,5\qquad \) 4) \(-\dfrac{19}9\) Укажите номер правильного ответа.
Подставим:
1) \(-\frac{19}{21}=19\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(-\frac1{21}=\frac{(-1)^n}n\). Подбором убеждаемся, что подходит \(n=21\).
2) \(\frac{19}{20}=19\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{20}=\frac{(-1)^n}n\). Тогда \(n=20\).
3) \(-9,5=19\cdot \frac{(-1)^n}n\). Так как \(9,5=\frac{19}{2}\), то \(-\frac{19}{2}=19\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(-\frac1{2}=\frac{(-1)^n}n\). Единственное \(n\), которое могло бы подойти – это \(n=2\). Но тогда \((-1)^{2}=1\), а не \(-1\). Следовательно, это и есть число, которое не является членом данной последовательности.
(Для проверки можно также подставить и последнее, четвертое число.)
Ответ: 3
Последовательность задана формулой \(x_n=-23\cdot \dfrac{(-1)^n}n\). Какое из указанных чисел не является членом этой последовательности?
1) \(\dfrac{23}{19}\qquad \) 2) \(-\dfrac{23}{24}\qquad \) 3) \(\dfrac{23}{25}\qquad \) 4) \(11,5\) Укажите номер правильного ответа.
Подставим:
1) \(\frac{23}{19}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{19}=-\frac{(-1)^n}n\). Подбором убеждаемся, что подходит \(n=19\).
2) \(-\frac{23}{24}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{24}=\frac{(-1)^n}n\). Тогда \(n=24\).
3) \(\frac{23}{25}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{25}=-\frac{(-1)^n}n\). Тогда \(n=25\).
4) \(11,5=\frac{23}{2}\), следовательно, \(\frac{23}{2}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{2}=-\frac{(-1)^n}n\). Единственное \(n\), которое могло бы подойти – это \(n=2\). Но тогда \((-1)^{2}=1\), а не \(-1\). Следовательно, это и есть число, которое не является членом данной последовательности.
Ответ: 4
Последовательность задана формулой \(a_n=2n+4\cdot \dfrac{(-1)^n}n\). Какое из указанных чисел не является членом этой последовательности?
1) \(-3\qquad \) 2) \(9\,\dfrac15\qquad \) 3) \(6\qquad \) 4) \(-2\)
Укажите номер правильного ответа.
Способ 1.
Заметим, что при \(n\geqslant 2\) все \(a_n\) будут положительными, так как \(2n\geqslant 4\), а \(\frac 4n\leqslant 2\). При \(n=1\) получим \(a_1=2-4=-2\). Следовательно, во-первых, число \(-2\) является членом последовательности, а во-вторых, больше отрицательных членов последовательности быть не может, то есть число \(-3\) не является членом последовательности. Ответ 1.
(Чтобы проверкой убедиться в этом, нужно решить \(-3=2n+(-1)^n\cdot \frac 4n\), откуда \(2n^2+3n+4(-1)^n=0\). Дискриминант этого уравнения \(D=9-32(-1)^n\). Следовательно, либо \(D<0\), либо \(D=41\). В первом случае корней нет, во втором случае корни есть, но иррациональные. А нам нужны натуральные корни \(n\).)
Способ 2.
Данный способ – это та же самая проверка, как и во второй части решения первым способом. Этот способ менее предпочтителен тем, что является более долгим.
Ответ: 1
