Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

22. Текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на движение по прямой

Задание 1 #6194

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно \(117\) км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на \(4\) км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на \(4\) часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Изобразим в виде схемы движение велосипедиста:


 

Время в часах, которое он затратил на дорогу из A в B, равно \[t_{AB}=\dfrac{117}x\] Время в часах, которое он затратил на дорогу из В в А, учитывая остановку, равно \[t_{BA}=4+\dfrac{117}{x+4}\] Так как \(t_{AB}=t_{BA}\), то получаем уравнение: \[\dfrac{117}x=4+\dfrac{117}{x+4}\] Домножим обе части уравнения на \(x(x+4)\), так как \(x\ne 0, \ x+4\ne 0\) – скорости. \[117(x+4)=4x(x+4)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 117x+117\cdot 4=4(x^2+4x)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 4(x^2+4x)-117\cdot 4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+4x-117=0\] Дискриминант \(D=4^2+117\cdot 4=4(4+117)=4\cdot 121=(2\cdot 11)^2\), следовательно, корни уравнения \(x_1=-13\) и \(x_2=9.\) Так как скорость не может быть отрицательной, то \(x=9\). Тогда скорость велосипедиста на пути из В в А равна \(x+4=13\).

Ответ: 13

Задание 2 #6195

Альпинистка Маша начала ползти по стене, находясь на высоте \(2,75\) м от пола. За каждую минуту она поднималась бы на \(1,5\) м, но ветер тут же сносит ее вниз на \(0,25\) м. Сколько минут она ползет, если теперь она находится на высоте \(14\) м от пола?

Так как Маша уже находилась на высоте 2,75 м, то проползла она за время наблюдения \(14-2,75=11,25\) метров. Заметим, что в итоге за каждую минуту она поднимается на 1,25 метров. Следовательно, время, которое она затратила на подъем, равно \[11,25:1,25=9 \ {\small{\text{минут.}}}\]

Ответ: 9

Задание 3 #6196

Катер движется по стоячей воде. Собственная скорость катера - \(35\) км/ч. Навстречу катеру дует ветер, который за каждый час сносит катер на \(3\) км назад. За сколько часов катер доберется в назначенный пункт, если он находится на расстоянии \(144\) км от места начала движения катера?

Так как за час катер проходил бы 35 км, но ветер сносит его назад на 3 км, то в итоге за час катер проходит 32 км. Следовательно, 144 км катер пройдет за \(144:32=4,5\) часа.

Ответ: 4,5

Задание 4 #6197

Яхта движется по стоячей воде, ее собственная скорость - \(30\) км/ч, встречный ветер каждую минуту сносит яхту на \(20\) метров. За сколько часов яхта пройдет \(259\,200\) метров?

За каждый час яхта проходила бы 30 км, или 30000 метров, значит, за минуту она проходила бы \(30\,000:60=500\) метров. Так как за каждую минуту ветер сносит ее на 20 метров, то в итоге за минуту яхта проходит 480 метров. Следовательно, ей понадобится \(259\,200:480=540\) минут или \(540:60=9\) часов.

Ответ: 9

Задание 5 #6198

Из пункта А в пункт Б одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй первую половину пути проехал со скоростью \(84\) км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на \(11,2\) км/ч меньшей скорости первого, в результате чего оба автомобилиста прибыли в пункт Б одновременно. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она была больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость первого автомобилиста равна \(x\) км/ч, \(S\) км – расстояние от А до Б. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Тогда время в часах, которое первый затратил на дорогу, равно \[\dfrac Sx\] Время в часах, которое второй затратил на дорогу, равно \[\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Так как оба прибыли одновременно в пункт Б, то есть затратили на дорогу одинаковое время, то получаем следующее уравнение: \[\dfrac Sx=\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Заметим, что можно разделить обе части уравнения на \(S\), так как \(S\ne 0\). Приведем к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону: \[\dfrac{x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2}{2\cdot 84\cdot x\cdot (x-11,2)}=0\] Решим уравнение \(x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2=0\). Домножим его на \(10\): \(10x^2-952x+2\cdot 84\cdot 112=0\).
Дискриминант \[D=952^2-4\cdot 10\cdot 2\cdot 84\cdot 112=7^2\cdot 2^6\cdot 17^2-2^{10}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2=7^2\cdot 2^6\cdot (289-240)=(7\cdot 2^3\cdot 7)^2=392^2\] Следовательно, корнями будут \[x_1=\dfrac{952+392}{20}=67,2 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{952-392}{20}=28\] Так как скорость больше 50, то ответом будет число 67,2.

Ответ: 67,2

Задание 6 #6199

Пристани А и В расположены на берегу моря на расстоянии 704 км друг от друга. Паром отправился из А в В с постоянной скоростью. Прибыв в В, он отправился обратно со скоростью, на 5 км/ч больше прежней, при этом сделав по пути остановку на 20 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость парома на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(x\) км/ч – скорость парома из А в В. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Время в часах, которое паром затратил из А в В, равно \[\dfrac{704}{x}\] Время в часах, которое он затратил из В в А, равно \[\dfrac{704}{x+5}+20\] Так как это время оказалось одинаковым, то получается следующее уравнение \[\dfrac{704}x=\dfrac{704}{x+5}+20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{704(x+5)-704x}{x(x+5)}=20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{176}{x(x+5)}=1 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+5x-176=0\] Дискриминант \(D=5^2+4\cdot 176=729=27^2\), следовательно, корни \[x_1=\dfrac{-5+27}{2}=11 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{-5-27}{2}=-16\] Так как скорость – величина положительная, то \(x=11\).
Не забудем вернуться к условию и проверить, что необходимо было найти: скорость парома на пути из В в А. Следовательно, ответ \(x+5=16\).

Ответ: 16

Задание 7 #6200

Два велосипедиста выехали из одного места в одном направлении. Скорость первого – 10 км/ч, а второго – 18 км/ч. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 104 км?



Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на \(18-10=8\) км больше, чем первый. Следовательно, 8 км/ч – скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 0 км, стало – 104 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на 104 км. Значит, прошло \(104:8=13\) часов.

Ответ: 13