Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и ромб

Задание 1 #5888

Периметр параллелограмма равен \(15\). При этом одна сторона этого параллелограмма на \(5\) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть \(BC = AB + 5\), тогда периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(AB + BC + CD + AD = AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4\cdot AB + 10 = 15\), откуда находим \(AB = 1,25\). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна \(1,25\).

Ответ: 1,25

Задание 2 #5889

Из точки \(C\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр на продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\). Этот перпендикуляр пересёк прямую \(AD\) в точке \(E\), причём \(CE = DE\). Найдите \(\angle B\) параллелограмма \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\). Так как \(\angle DEC = 90^{\circ}\), а сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle EDC = 45^{\circ}\), тогда \(\angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^{\circ}\).

Ответ: 135

Задание 3 #5890

В параллелограмме \(ABCD\) сумма длин диагоналей равна 10, а меньшая сторона параллелограмма \(ABCD\) равна 2. Найдите наименьший из периметров треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\).

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 4 #5891

В параллелограмме \(ABCD\) проведены биссектрисы \(AN\) и \(BM\), \(\angle ABM = 58^{\circ}\). Найдите \(\angle BAN\). Ответ дайте в градусах.

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\).

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 90^{\circ}\).

\(\angle ABM = 58^{\circ}\), тогда \(\angle BAN = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}\).

Ответ: 32

Задание 5 #5892

В параллелограмме \(ABCD\) проведена биссектриса \(AN\), точка \(N\) лежит на стороне \(BC\), причём \(NC = 3\), \(AB = 5\). Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\).

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle BNA = \angle NAD\).

Так как \(AN\) – биссектриса, то \(\angle NAD = \angle BAN\), откуда получаем \(\angle BNA = \angle BAN\).

Таким образом, треугольник \(ABN\) – равнобедренный, \(BN = AB\), тогда \(BC = BN + NC = 5 + 3 = 8\). В итоге, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(8 + 8 + 5 + 5 = 26\).

Ответ: 26

Задание 6 #5893

В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) выбрана точка \(N\) так, что \(AB = BN\), \(\angle B = 150^{\circ}\). Найдите \(\angle NAD\). Ответ дайте в градусах.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle BAN = \angle BNA\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BAN = \angle BNA = 15^{\circ}\).

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle NAD = \angle BNA = 15^{\circ}\).

Ответ: 15

Задание 7 #5894

В параллелограмме \(ABCD\): \(BC = 2\cdot AB\), \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы, \(AB = 4\). Найдите \(NM\).

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, тогда \(\angle BNA = \angle NAD\), но \(\angle NAD = \angle BAN\), тогда \(\angle BNA = \angle BAN\) и треугольник \(BAN\) – равнобедренный, \(AB = BN\). Обозначим \(AB = x\).

Аналогично треугольник \(MCD\) – равнобедренный, \(x = CD = MD\).

\(BC = 2x = AD\), тогда \(NC = x = AM\), следовательно, \(BN = x = AM\); \(AM \parallel BN\), тогда \(ABNM\) – параллелограмм, откуда заключаем, что \(MN = AB = 4\).

Ответ: 4