Параллелограмм и ромб

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle BAN = \angle BNA\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BAN = \angle BNA = 15^{\circ}\).

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle NAD = \angle BNA = 15^{\circ}\).

Ответ: 15

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть \(BC = AB + 5\), тогда периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(AB + BC + CD + AD = AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4\cdot AB + 10 = 15\), откуда находим \(AB = 1,25\). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна \(1,25\).

Ответ: 1,25

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\). Так как \(\angle DEC = 90^{\circ}\), а сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle EDC = 45^{\circ}\), тогда \(\angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^{\circ}\).

Ответ: 135

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).

Ответ: 7

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\).

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 90^{\circ}\).

\(\angle ABM = 58^{\circ}\), тогда \(\angle BAN = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}\).

Ответ: 32

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle BNA = \angle NAD\).

Так как \(AN\) – биссектриса, то \(\angle NAD = \angle BAN\), откуда получаем \(\angle BNA = \angle BAN\).

Таким образом, треугольник \(ABN\) – равнобедренный, \(BN = AB\), тогда \(BC = BN + NC = 5 + 3 = 8\). В итоге, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(8 + 8 + 5 + 5 = 26\).

Ответ: 26

Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^{\circ}\), следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\).

Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\), значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10