Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(\dfrac{\sqrt3}6\). Найдите сторону этого треугольника.
1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть \(H\) – точка касания окружности со стороной \(AB\) (то есть \(OH\) – радиус). Следовательно, \(OH\perp AB\) (как часть высоты) и \(OH=\frac13CH\) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины).
Если \(AC=2x\), то \(AH=x\), следовательно, \(CH=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt3\), тогда \[\dfrac{\sqrt3}6=OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac{\sqrt3}3x\quad\Rightarrow\quad
x=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad AC=2x=1\]
2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\). Тогда по формуле \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, имеем: \[\dfrac{\sqrt3}4a^2=\dfrac{3a}2\cdot r\quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt3r=1\]
Ответ: 1