Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

24. Геометрия. Вычисление

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Работа с треугольником

Задание 1 #5172

Отрезки \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\). Найдите \(MC\), если \(AB=14\), \(DC=42\), \(AC=52\).

Обозначим \(MC=x\). Тогда \(AM=52-x\). Рассмотрим чертеж:



Так как \(AB\parallel CD\), то накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей \(BD\) равны, то есть \(\angle ABM=\angle CDM\). Также \(\angle AMB=\angle CMD\) как вертикальные. Следовательно, \(\triangle ABM\sim \triangle CMD\) по двум углам. Отсюда получаем: \[\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AM}{MC}\quad \Rightarrow\quad \dfrac{14}{42}=\dfrac{52-x}x\quad \Rightarrow\quad x=39.\]

Ответ: 39

Задание 2 #5173

Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Найдите \(AC\), если \(BK:KA=3:4\), \(KM=18\).

Так как \(BK:KA=3:4\), то можно обозначить \(BK=3x\), \(KA=4x\). Рассмотрим чертеж:



Так как \(KM\parallel AC\), то \(\angle BKM=\angle BAC\) как соответственные при секущей \(AB\). Также \(\angle B\) – общий для \(\triangle ABC\) и \(\triangle KBM\). Следовательно, по двум углам \(\triangle ABC\sim \triangle KBM\). Тогда можно записать \[\dfrac{KM}{AC}=\dfrac{KB}{BA}\quad \Rightarrow\quad \dfrac{18}{AC}=\dfrac{3x}{7x}\quad\Rightarrow\quad AC=42.\]

Ответ: 42

Задание 3 #5174

Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите \(BN\), если \(MN=17\), \(AC=51\), \(NC=32\).

Обозначим \(BN=x\). Рассмотрим чертеж:



Так как \(NM\parallel AC\), то \(\angle BMN=\angle BAC\) как соответственные при секущей \(AB\). Также \(\angle B\) – общий для \(\triangle ABC\) и \(\triangle MBN\). Следовательно, по двум углам \(\triangle ABC\sim \triangle MBN\). Тогда можно записать \[\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}\quad \Rightarrow\quad \dfrac{x}{x+32}=\dfrac{17}{51}\quad\Rightarrow\quad x=16.\]

Ответ: 16

Задание 4 #5175

Катеты прямоугольного треугольника равны \(18\) и \(24\). Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\) и его высоту \(CH=h\):



С одной стороны, площадь прямоугольного треугольника равна \(S=\frac12 AC\cdot BC\). С другой стороны, \(S=\frac12 CH\cdot AB\).
Найдем \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB=\sqrt{18^2+24^2}=30\).
(Легкий способ вычисления: заметим, что прямоугольный треугольник с катетами 18 и 24 подобен прямоугольному треугольнику с катетами 3 и 4 с коэффициентом подобия 6. Следовательно, если у треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза равна 5, то у треугольника с катетами 18 и 24 гипотенуза равна \(5\cdot 6=30\).)

 

Таким образом, получаем: \[\dfrac12\cdot 18\cdot 24=\dfrac 12\cdot h\cdot 30\quad\Rightarrow\quad h=14,4\]

Ответ: 14,4

Задание 5 #5176

Точка \(H\) является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла \(B\) треугольника \(ABC\) к гипотенузе \(AC\). Найдите \(AB\), если \(AH=6\), \(AC=24\).

Из условия следует, что \(CH=24-6=18\). Рассмотрим чертеж:



По свойству прямоугольного треугольника высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между отрезками, на которые она делит гипотенузу, то есть \(BH=\sqrt{AH\cdot HC}\). Следовательно, \(BH=\sqrt{6\cdot 18}=6\sqrt3\).
Тогда по теореме Пифагора для \(\triangle AHB\): \[AB=\sqrt{(6\sqrt3)^2+6^2}=12.\]

Ответ: 12