Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

10. Графики функций

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Квадратичная функция

Задание 1 #8734

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1) \(y=-3x^2-4x+2\) \(\;\;\;\) 2)\(y=-3x^2-4x-2\) \(\;\;\;\) 3)\(y=3x^2-4x+2\) \(\;\;\;\) 4)\(y=3x^2-4x-2\)

Общее уравнение параболы имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где знак \(a\) зависит от направления ветвей параболы, \(c\) — точка пересечения графика с осью \(y\).

У данной функции \(a>0\) — ветви направленны вверх, поэтому варианты 1) и 2) точно не подходят.

Так как график пересекает ось \(y\) ниже нуля, то \(c<0\). Подходит вариант 4).

Ответ: 4

Задание 2 #8735

На каком рисунке изображен график функции \(y=2x^2+5x+1\)?

Общее уравнение параболы имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где знак \(a\) зависит от направления ветвей параболы, \(c\) — точка пересечения графика с осью \(y\).

У данной функции \(a>0\) — ветви направленны вверх, поэтому варианты 2) и 3) точно не подходят.

Коэффициент \(c\) у функций 1) и 4) совпадает. Чтобы различить эти функции, используем формулу координаты вершины параболы \(x_{\text{верш} }= -\frac{b}{2a}\). По условию, \(a=2, b=5\), следовательно, \(x_{\text{верш}}=-\frac{5}{4}<0\). Подходит вариант 1).

Ответ: 1

Задание 3 #8736

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1) \(y=x^2+3x-2\) \(\;\;\;\) 2)\(y=-x^2+3x-2\) \(\;\;\;\) 3)\(y=x^2-3x-2\)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Общее уравнение параболы имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где знак \(a\) зависит от направления ветвей параболы, \(c\) — точка пересечения графика с осью \(y\).

Только у графика B ветви направлены вниз, значит, только ему соответствует уравнение, где \(a<0\), то есть 2).

Рассмотрим графики A и C. Первый из них имеет отрицательную координату \(x\) вершины параболы, а второй — положительную.

Найдем координату вершины параболы, заданной уравнением 1).

\[x_{\text{верш} }= -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}<0.\]

Значит, графику A соответствует формула 1). Графику C соответствует формула 3).

Ответ: 123

Задание 4 #8737

Определите значение коэффициента \(b\) функции \(y=ax^2+bx+c\) по графику, если известно, что данный график пересекает ось ординат в точке с координатой (0;7).

Так как график пересекает ось ординат в точке с координатой (0;7), то коэффициент \(c = 7\).

Абсцисса вершины параболы \(x_{\text{верш} }= -\frac{b}{2a}=2\), значит, \(b=-4a\).

Ордината вершины параболы \(y_{\text{верш} }=-1\). Но \(y_{\text{верш} }\) можно определить, подставив значение \(x=3\) с исходное уравнение параболы:

\[-1=a \cdot 9 - 4a \cdot 3 + 7.\]

Откуда \(a = 2\), значит, \(b=-4a \cdot 2=-8\).

Ответ: -8

Задание 5 #8738

Определите значение коэффициента \(b\) функции \(y=ax^2+bx+c\) по графику.

Выберем 3 точки, принадлежащие графику функции, и имеющие целые координаты: (1;0), (2;1) и (3;-4).

Поочередно подставим пары значений \((x;y)\) в общее уравнение параболы. Затем решим полученную систему из трех уравнений относительно \(a, b, c\).

\[\begin{cases} 0 = a+b+c,\\ 1 =4a+2b+c,\\ -4 =9a+3b+c. \end{cases}\]

Выразим \(c = -a-b\) из первого уравнения и подставим в остальные.

\[\begin{cases} 1 =4a+2b-a-b, \\ -4 =9a+3b-a-b. \end{cases}\]

\[\Rightarrow\] \[\begin{cases} 1 =3a+b,\\ -4 =8a+2b. \end{cases}\]

Умножим обе части первого уравнения на 2, а затем вычтем полученное уравнение из второго.

\[\begin{cases} 2 =6a+2b,\\ -4 =8a+2b. \end{cases}\]

Откуда \(-6=2a\) или \(a=-3\). Тогда \(b=1-3a=10\).

Ответ: 10

Задание 6 #5192

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?


 

1) \(y=-x^2-6x-5\qquad\) 2) \(y=x^2+6x+5\qquad \) 3) \(y=x^2-6x+5\qquad \) 4) \(y=-x^2+6x-5\)

Способ 1.

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент перед \(x^2\) в уравнении параболы положительный. Значит, выбираем между 2 и 3. Вершина параболы на рисунке имеет абсциссу \(x_0=-3\). У параболы 2 вершина \(x_{0_2}=\frac{-6}{2\cdot 1}=-3\), у параболы 3 \(x_{0_3}=\frac6{2\cdot 1}=3\). Следовательно, ответ 2.

 

Способ 2.

Парабола на рисунке пересекает ось \(Oy\) в точке \(y=5\) (то есть проходит через точку \(x=0, y=5\)). Среди данных формул точка \(x=0, y=5\) удовлетворяет лишь формулам 2 и 3. Также парабола на рисунке проходит, например, через точку \(x=-1, y=0\). Среди формул 2 и 3 эта точка удовлетворяет лишь формуле 2.

Ответ: 2

Задание 7 #5193

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?


 

1) \(y=-2x^2-4x+4\qquad\) 2) \(y=-2x^2+4x+4\qquad \) 3) \(y=4x^2-4x-4\qquad \) 4) \(y=2x^2+4x-4\)

Способ 1.

Ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент перед \(\,x^2\) в уравнении параболы отрицательный. Значит, выбираем между 1 и 2. Вершина параболы на рисунке имеет абсциссу \(x_0=-1\). У параболы 1 вершина \(x_{0_1}=\frac{4}{2\cdot (-2)}=-1\), у параболы 2 \(x_{0_2}=\frac{-4}{2\cdot (-2)}=1\). Следовательно, ответ 1.

 

Способ 2.

Парабола на рисунке пересекает ось \(Oy\) в точке \(y=4\) (то есть проходит через точку \(x=0, y=4\)). Среди данных формул точка \(x=0, y=4\) удовлетворяет лишь формулам 1 и 2. Также парабола на рисунке проходит, например, через точку \(x=1, y=-2\). Среди формул 1 и 2 эта точка удовлетворяет лишь формуле 1.

Ответ: 1